1-5-1 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换巩固练习 新人教A版必修4

C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的4(1)，横坐标不变

[答案]　A

[解析]　由图象的周期变换可知，A正确．

2．(山东济南一中12－13期中)要得到函数y＝cos2x的图象，只需将y＝cos(2x＋4(π))的图象(　　)

A．向左平移8(π)个单位长度

B．向右平移8(π)个单位长度

C．向左平移4(π)个单位长度

D．向右平移4(π)个单位长度

[答案]　B

[解析]　平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则．则y＝cos2x只需向左平移8(π)个单位即可．而y＝cos(2x＋4(π))需右移8(π)个单位，得到y＝cos2x.

3．(天津高考)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－6(π)，6(5π)]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(　　)

A．向左平移3(π)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2(1)倍，纵坐标不变

B．向左平移3(π)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移6(π)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2(1)倍，纵坐标不变

D．向左平移6(π)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

[答案]　A

[解析]　由图象知T＝π，∴ω＝2.

又A＝1，∴y＝sin(2x＋φ)．

又图象过点(12(π)，1)，∴sin(6(π)＋φ)＝1.

∴φ＝2kπ＋3(π)，k∈Z.

∴y＝sin(2x＋3(π))，故A满足条件．

4．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移2(π)个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)

A．4　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．12

[答案]　B

[解析]　由题意可知，2(π)是函数f(x)周期的整数倍，即ω(2π)·n＝2(π)(n∈N*)，则ω＝4n，故其值不可能为6.

5．下列命题正确的是(　　)

A．y＝sinx的图象向右平移2(π)个单位得y＝cosx的图象

B．y＝cosx的图象向右平移2(π)个单位得y＝sinx的图象

C．当φ>0时，y＝sinx的图象向右平移φ个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象

D．当φ<0时，y＝sinx的图象向左平移φ个单位可得y＝sin(x－φ)的图象

[答案]　B

6．(2012全国高考安徽卷)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象(　　)

A．向左平移1个单位　　 B．向右平移1个单位

C．向左平移2(1)个单位   D．向右平移2(1)个单位

[答案]　C

[解析]　y＝cos2x→y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋2(1))，向左平移2(1).

7．将函数y＝cos2x的图象向左平移5(π)个单位，所得图象对应的解析式为________．

[答案]　y＝cos(2x＋5(2π))

8．将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的4(1)倍(纵坐标不变)得________的图象．

[答案]　y＝sin4x

9．将函数y＝2(1)sin2x的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式．

[解析]　y＝2(1)sin2x横坐标变为y＝2(1)sin2(2(1)x)＝2(1)sinx.

y＝2(1)sinx纵坐标变为y＝4(1)sinx.

即所得图象的解析式为y＝4(1)sinx.

10．用“五点法”画函数y＝3sin3(π)，x∈6(5π)的图象．

[解析]　①列表：

2x＋3(π)	0	2(π)	π	2(3π)	2π
x	－6(π)	12(π)	3(π)	12(7π)	6(5π)
3sin3(π)	0	3	0	－3	0

②描点：在坐标系中描出下列各点：

，0(π)，，3(π)，，0(π)，，－3(7π)，，0(5π).

③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin3(π)，x∈6(5π)的简图，如图所示．

 

11．(四川高考)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移10(π)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin(2x－10(π))   B．y＝sin(2x－5(π))

C．y＝sin(2(1)x－10(π))   D．y＝sin(2(1)x－20(π))

[答案]　C

[解析]　函数y＝sinx的图象上的点向右平移10(π)个单位长度可得函数y＝sin(x－10(π))的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(2(1)x－10(π))的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(2(1)x－10(π))．

12．(2013·山东理)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移8(π)个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A.4(3π)　　　B.4(π)　　　　C．0　　　　D．－4(π)

[答案]　B

[解析]　本题考查了三角函数的奇偶性、图象变换等知识．

由已知将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移8(π)个单位后，得到的函数解析式为y＝sin[2(x＋8(π))＋φ]＝sin(2x＋4(π)＋φ)，由于此函数为偶函数，则φ＋4(π)＝kπ＋2(π)，k∈Z，φ＝kπ＋4(π)，k∈Z，令k＝0，∴φ＝4(π).

13．(湖南高考)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后得到函数y＝sin(x－6(π))的图象，则φ等于(　　)

A.6(π)   B.6(5π)  

C.6(7π)   D.6(11π)

[答案]　D

[解析]　由题意，得sin(x＋φ)＝sin(x－6(π))，又0≤φ<2π，故φ＝6(11π).

14．函数y＝－2(5)sin3(2π)的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是(　　)

A.，0(π)   B.，0(π)

C.，0(π)   D.，0(π)

[答案]　A

[解析]　由4x＋3(2π)＝kπ得，x＝4(kπ)－6(π)，k＝0时，得点，0(π)，k＝1时得点，0(π)，故选A.

15．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：

ωx＋φ	0	2(π)	π	2(3π)	2π
x	12(π)	4(π)	12(5π)	12(7π)	4(3π)
y	0	2	0	－2	0

则有(　　)

A．A＝0，ω＝12(π)，φ＝0   B．A＝2，ω＝3，φ＝12(π)

C．A＝2，ω＝3，φ＝－4(π)   D．A＝1，ω＝2，φ＝－12(π)

[答案]　C

[解析]　由表格得A＝2，4(3)π－12(π)＝ω(2π)，

∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.

当x＝12(π)时，3x＋φ＝4(π)＋φ＝0，∴φ＝－4(π).

16．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是(　　)

[答案]　B

[解析]　把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向右平移1个单位长度得：y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x－1)．令x＝0，得：

y3>0；x＝2(π)＋1，得：y3＝0；观察即得答案．

17．把函数y＝3sin3(π)的图象向右平移6(π)个单位长度，再向下平移1个单位长度，则得到的函数的解析式是________．

[答案]　y＝3sin2x－1

[解析]　函数y＝3sin3(π)的图象向右平移6(π)个单位长度得函数y＝3sin3(π)＝3sin2x，再向下平移1个单位长度得y＝3sin2x－1.

18．将函数f(x)的图象向右平移3(π)个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin4(π)的图象，则f(x)＝________.

[答案]　2sin12(13π)－1

[解析]　将y＝2sin4(π)的图象向左平移3(π)个单位长度，得函数y＝2sin4(π)＝2sin12(13π)的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin12(13π)－1的图象，即f(x)＝2sin12(13π)－1.

19．函数y＝f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2(π)个单位长度，所得到的曲线是y＝3(1)sinx的图象，求函数y＝f(x)的解析式．

[解析]　 

y＝3(1)sin(x－2(π))横坐标变为

y＝3(1)sin(2x－2(π))＝－3(1)cos2x.

即f(x)＝－3(1)cos2x.

20．(广东揭阳第一中学2012－2013期中)已知函数f(x)＝3sin(2(1)x－4(π))，x∈R.

(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

[解析]　(1)函数f(x)的周期T＝2(1)＝4π

由2(1)x－4(π)＝0，2(π)，π，2(3π)，2π，

解得x＝2(π)，2(3π)，2(5π)，2(7π)，2(9π).

列表如下：

x	2(π)	2(3π)	2(5π)	2(7π)	2(9π)
2(1)x－4(π)	0	2(π)	π	2(3π)	2π
3sin(2(1)x－4(π))	0	3	0	－3	0

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．

图象如下：

(2)方法一：先把y＝sinx的图象向右平移4(π)个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移2(π)个单位，得到f(x)的图象．

21．将函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－6(π))的图象向左平移12(π)个单位长度，可得函数g(x)的图象．

(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象．

(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．

[解析]　函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，

可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－6(π))的图象向左平移12(π)个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋12(π))－6(π)]＝cos2x的图象，即图象C2.

(1)画出图象C1和C2的图象如图

(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．

即方程f(x)＝g(x)解的个数为7.

三角函数的图像变换

1．[答案]　A

[解析]　由图象的周期变换可知，A正确．

 [解析]　由图象知T＝π，∴ω＝2.

又A＝1，∴y＝sin(2x＋φ)．

又图象过点(12(π)，1)，∴sin(6(π)＋φ)＝1.

∴φ＝2kπ＋3(π)，k∈Z.

∴y＝sin(2x＋3(π))，故A满足条件．

4．[答案]　B

[解析]　由题意可知，2(π)是函数f(x)周期的整数倍，即ω(2π)·n＝2(π)(n∈N*)，则ω＝4n，故其值不可能为6.

5.[答案]　B

6．[答案]　C

[解析]　y＝cos2x→y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋2(1))，向左平移2(1).

7．[答案]　y＝cos(2x＋5(2π))

8．[答案]　y＝sin4x

9．[解析]　y＝2(1)sin2x横坐标变为y＝2(1)sin2(2(1)x)＝2(1)sinx.

y＝2(1)sinx纵坐标变为y＝4(1)sinx.

即所得图象的解析式为y＝4(1)sinx.

10．[解析]　①列表：

2x＋3(π)	0	2(π)	π	2(3π)	2π
x	－6(π)	12(π)	3(π)	12(7π)	6(5π)
3sin3(π)	0	3	0	－3	0

②描点：在坐标系中描出下列各点：

，0(π)，，3(π)，，0(π)，，－3(7π)，，0(5π).

③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin3(π)，x∈6(5π)的简图，如图所示．

11．[答案]　C

[解析]　函数y＝sinx的图象上的点向右平移10(π)个单位长度可得函数y＝sin(x－10(π))的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(2(1)x－10(π))的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(2(1)x－10(π))．

12．[答案]　B

[解析]　本题考查了三角函数的奇偶性、图象变换等知识．

由已知将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移8(π)个单位后，得到的函数解析式为y＝sin[2(x＋8(π))＋φ]＝sin(2x＋4(π)＋φ)，由于此函数为偶函数，则φ＋4(π)＝kπ＋2(π)，k∈Z，φ＝kπ＋4(π)，k∈Z，令k＝0，∴φ＝4(π).

13．[答案]　D

[解析]　由题意，得sin(x＋φ)＝sin(x－6(π))，又0≤φ<2π，故φ＝6(11π).

14．[答案]　A

[解析]　由4x＋3(2π)＝kπ得，x＝4(kπ)－6(π)，k＝0时，得点，0(π)，k＝1时得点，0(π)，故选A.

15．[答案]　C

[解析]　由表格得A＝2，4(3)π－12(π)＝ω(2π)，

∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.

当x＝12(π)时，3x＋φ＝4(π)＋φ＝0，∴φ＝－4(π).

16．[答案]　B

[解析]　把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向右平移1个单位长度得：y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x－1)．令x＝0，得：

y3>0；x＝2(π)＋1，得：y3＝0；观察即得答案．

17．[答案]　y＝3sin2x－1

[解析]　函数y＝3sin3(π)的图象向右平移6(π)个单位长度得函数y＝3sin3(π)＝3sin2x，再向下平移1个单位长度得y＝3sin2x－1.

18．[答案]　2sin12(13π)－1

[解析]　将y＝2sin4(π)的图象向左平移3(π)个单位长度，得函数y＝2sin4(π)＝2sin12(13π)的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin12(13π)－1的图象，即f(x)＝2sin12(13π)－1.

19．[解析]　 

y＝3(1)sin(x－2(π))横坐标变为

y＝3(1)sin(2x－2(π))＝－3(1)cos2x.

即f(x)＝－3(1)cos2x.

20．[解析]　(1)函数f(x)的周期T＝2(1)＝4π

由2(1)x－4(π)＝0，2(π)，π，2(3π)，2π，

解得x＝2(π)，2(3π)，2(5π)，2(7π)，2(9π).

列表如下：

x	2(π)	2(3π)	2(5π)	, 2(7π)	2(9π)
2(1)x－4(π)	0	2(π)	π	2(3π)	2π
3sin(2(1)x－4(π))	0	3	0	－3	0

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．

图象如下：

(2)方法一：先把y＝sinx的图象向右平移4(π)个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移2(π)个单位，得到f(x)的图象．

21．[解析]　函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，

可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－6(π))的图象向左平移12(π)个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋12(π))－6(π)]＝cos2x的图象，即图象C2.

(1)画出图象C1和C2的图象如图

(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．

即方程f(x)＝g(x)解的个数为7.