高中数学 1-5-2 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用巩固练习 新人教A版必修4

2．函数y＝sin(x＋2(π))，x∈R(　　)

A．在[－2(π)，2(π)]上是增函数

B．在[0，π]上是减函数

C．在[－π，0]上是减函数

D．在[－π，π]上是减函数

[答案]　B

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)

A．A＝3，T＝6(5π)   B．A＝3，T＝3(5π)

C．A＝2(3)，T＝6(5π)   D．A＝2(3)，T＝3(5π)

[答案]　D

[解析]　由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为2(3)，半个周期为2(π)－(－3(π))＝6(5π)，故周期为3(5)π.

4．简谐运动y＝3sin4(π)的相位和初相分别是(　　)

A．3,5   B．5x＋4(π)，4(π)

C．3，4(π)   D.4(π)，5x＋4(π)

[答案]　B

5．函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是(　　)

A．ω＝2(π)，φ＝4(π)   B．ω＝3(π)，φ＝6(π)

C．ω＝4(π)，φ＝4(π)   D．ω＝4(π)，φ＝4(5π)

[答案]　C

6．若函数f(x)＝sin(ωx＋6(π))(ω>0)的最小正周期是5(2π)，则ω＝________.

[答案]　5

7．函数y＝sin(2x－6(π))的图象在上(－π，π)上有______条对称轴．

[答案]　4

 

    8、函数y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|<2(π))的图象如图，求函数的表达式．

  

   [解析]　由函数图象可知A＝1，

函数周期T＝2×[3－(－1)]＝8，

∴ω＝T(2π)＝4(π)，又sin(4(π)＋φ)＝0，

∴4(π)＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－4(π)(k∈Z)，而|φ|<2(π)，∴φ＝－4(π)，

∴函数的表达式为y＝sin(4(π)x－4(π))．

    9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋3(π))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)

A．关于点，0(π)对称   B．关于直线x＝4(π)对称

C．关于点，0(π)对称   D．关于直线x＝3(π)对称

[答案]　A

[解析]　由T＝ω(2π)＝π，解得ω＝2，

则f(x)＝sin3(π)，

则该函数图象关于点，0(π)对称．

10．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－2(π)<φ<2(π))的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是(　　)

A．2，－3(π)

B．2，－6(π)

C．4，－6(π)

D．4，3(π)

[答案]　A

[解析]　本题考查正弦型函数的周期与初相．

4(3)T＝12(5π)－(－3(π))＝4(3π)，

∴T＝ω(2π)＝π，∴ω＝2.

当x＝12(5π)时，2×12(5π)＋φ＝2(π)，∴φ＝－3(π).

11．若函数f(x)＝2sin＋φ(π)是偶函数，则φ的值可以是(　　)

A.6(5π)　　　 B.2(π)　　　

C.3(π)　　　 D．－2(π)

[答案]　A

[解析]　由于f(x)是偶函数，

则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，

则f(0)＝±2，

又当φ＝6(5π)时，f(0)＝2sin6(5π)＝2，

则φ的值可以是6(5π).

12．简谐振动s＝3sin3(π)，在t＝2(1)时的位移s＝________.初相φ＝________.

[答案]　2(3)，3(π)

[解析]　当t＝2(1)时，s＝3sin3(π)＝3×2(1)＝2(3).

13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2(π))的图象如图所示，f(x)＝____________.

[答案]　3sin(2(x)＋6(π))

[解析]　由图易知A＝3

而2(T)＝3(8π)－3(2)π＝2π

故T＝4π.ω＝T(2π)＝2(1)

∴f(x)＝3sin(2(x)＋φ)代入(3(2)π，3)

得sin(3(π)＋φ)＝1

∴3(π)＋φ＝2(π)解得φ＝6(π)

∴f(x)＝3sin(2(x)＋6(π))．

14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω>0且|φ|<π)在一个周期内的图象如图，

(1)求函数的解析式．

(2)求函数的单调递增区间．

[解析]　(1)由图得A＝2，T＝2[12(5π)－(－12(π))]＝π，

ω＝T(2π)＝π(2π)＝2，

故y＝2sin(2x＋φ)．

又2sin(－2×12(π)＋φ)＝2，即sin(－6(π)＋φ)＝1，

∴φ＝2kπ＋3(2π)，k∈Z，又|φ|<π，∴φ＝3(2π)

得函数解析式为y＝2sin(2x＋3(2π))．

(2)令z＝2x＋3(2π)，函数y＝sinz的单调递增区间是

[－2(π)＋2kπ，2(π)＋2kπ](k∈Z)

由－2(π)＋2kπ≤2x＋3(2π)≤2(π)＋2kπ

得－12(7π)＋kπ≤x≤－12(π)＋kπ(k∈Z)

所以函数y＝2sin(2x＋3(2π))的递增区间为[－12(7π)＋kπ，－12(π)＋kπ]，k∈Z.

15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是，0(π)和，0(5π).

求：(1)f(x)的解析式；

(2)f(x)的值域；

(3)f(x)的对称轴．

[解析]　(1)A＝，T＝23(π)＝π

∴ω(2π)＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

又，0(π)在f(x)图象上，

∴f3(π)＝0.∴sin＋φ(2π)＝0.

∴sin＋φ(2π)＝0.

又－π<φ<0，∴φ＝－3(2π).

∴f(x)＝sin3(2π).

(2)值域是[－，]．

(3)令2x－3(2π)＝2(π)＋kπ(k∈Z)，

∴x＝12(7π)＋2(kπ)(k∈Z)．

∴对称轴是直线x＝12(7π)＋2(kπ)(k∈Z)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

B级

1．挂在弹簧下的小球上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(cm)由函数关系式h＝3sin4(π)决定．

(1)以t为横坐标，h为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t≤π)；

(2)求小球开始振动的位置；

(3)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置；

(4)经过多少时间，小球往返振动一次？

(5)每秒小球能往返振动多少次？

[解析]　(1)利用五点法可以作出其图象(如图所示)．

(2)令t＝0，则h＝2(2)，

所以小球开始振动时的位置为2(2).

(3)最高点为，3(π)，最低点为，－3(5π).

(4)小球经过π秒往返振动一次．

(5)每秒小球能往返振动π(1)次.

 

2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(2(π))＝－3(2)，则f(0)＝(　　)

A．－3(2)　　　 B.3(2)　　　

C．－2(1)　　　 D.2(1)

[答案]　B

[解析]　首先由图象可知所求函数的周期为

T＝212(7π)＝3(2π)，故ω＝3(2π)＝3.

将，0(11π)代入解析式，

得Acos＋φ(11π)＝0，即cos＋φ(11π)＝0，

∴4(11π)＋φ＝2(π)＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝－4(9π)＋2kπ(k∈Z)．

令φ＝－4(π)，代入解析式得f(x)＝Acos4(π).

又∵f2(π)＝－3(2)，

∴f2(π)＝－Asin4(π)＝－2(2)A＝－3(2)，

∴A＝3(2)，

∴f(0)＝3(2)cos4(π)＝3(2)cos4(π)＝3(2).

3．(2011～2012·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝3(π)对称，且f12(π)＝0，则ω的最小值为(　　)

A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8

[答案]　A

[解析]　函数f(x)的周期T≤412(π)＝π，

则ω(2π)≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＋x(π)＝f(－x)，则f6(π)＝(　　)

A．3或0   B．－3或3

C．0   D．－3或0

[答案]　B

[解析]　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＋x(π)＝f(－x)，

则函数f(x)的图象关于直线x＝6(π)对称，

则f6(π)是函数f(x)的最大值或最小值，

则f6(π)＝－3或3.

5．(2013·长沙模拟)若将函数y＝sin(ωx＋6(5π))(ω>0)的图象向右平移3(π)个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋4(π))的图象重合，则ω的最小值为________．

[答案]　4(7)

[解析]　y＝sin(ωx＋6(5π))的图象向右平移3(π)个单位后得到y＝sin[ω(x－3(π))＋6(5)π]

即y＝sin(ωx＋6(5)π－3(ω)π)

故6(5)π－3(ω)π＋2kπ＝4(π)(k∈Z)

即3(ω)π＝12(7)π＋2kπ

ω＝4(7)＋6k(k∈Z)

∵ω>0，∴ω的最小值为4(7).

6、11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M，0(3π)对称，且在区间2(π)上是单调函数，求ω和φ的值．

[解析]　∵f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，

∴φ＝2(π)＋kπ，k∈Z.

又∵0≤φ≤π，∴φ＝2(π)，

∴f(x)＝sin2(π)＝cosωx.

∵图象关于点，0(3π)对称，∴cos4(3π)ω＝0.

∴4(3π)ω＝2(π)＋nπ，n∈Z.∴ω＝3(2)＋3(4)n，n∈Z.

又∵f(x)在区间2(π)上是单调函数，∴2(T)≥2(π)－0，

即ω(2π)×2(1)≥2(π)，∴ω≤2.

又∵ω>0，∴ω＝3(2)或ω＝2.

 

 [解析]　由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为2(3)，半个周期为2(π)－(－3(π))＝6(5π)，故周期为3(5)π.

4．[答案]　B

5、[答案]　C

6．[答案]　5

7．[答案]　4

    8. [解析]　由函数图象可知A＝1，

函数周期T＝2×[3－(－1)]＝8，

∴ω＝T(2π)＝4(π)，又sin(4(π)＋φ)＝0，

∴4(π)＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－4(π)(k∈Z)，而|φ|<2(π)，∴φ＝－4(π)，

∴函数的表达式为y＝sin(4(π)x－4(π))．

 9．[答案]　A

[解析]　由T＝ω(2π)＝π，解得ω＝2，

则f(x)＝sin3(π)，

则该函数图象关于点，0(π)对称．

10．[答案]　A

[解析]　本题考查正弦型函数的周期与初相．

4(3)T＝12(5π)－(－3(π))＝4(3π)，

∴T＝ω(2π)＝π，∴ω＝2.

当x＝12(5π)时，2×12(5π)＋φ＝2(π)，∴φ＝－3(π).

11．[答案]　A

[解析]　由于f(x)是偶函数，

则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，

则f(0)＝±2，

又当φ＝6(5π)时，f(0)＝2sin6(5π)＝2，

则φ的值可以是6(5π).

12.[答案]　2(3)，3(π)

[解析]　当t＝2(1)时，s＝3sin3(π)＝3×2(1)＝2(3).

  13．[答案]　3sin(2(x)＋6(π))

[解析]　由图易知A＝3

而2(T)＝3(8π)－3(2)π＝2π

故T＝4π.ω＝T(2π)＝2(1)

∴f(x)＝3sin(2(x)＋φ)代入(3(2)π，3)

得sin(3(π)＋φ)＝1

∴3(π)＋φ＝2(π)解得φ＝6(π)

∴f(x)＝3sin(2(x)＋6(π))．

14．[解析]　(1)由图得A＝2，T＝2[12(5π)－(－12(π))]＝π，

ω＝T(2π)＝π(2π)＝2，

故y＝2sin(2x＋φ)．

又2sin(－2×12(π)＋φ)＝2，即sin(－6(π)＋φ)＝1，

∴φ＝2kπ＋3(2π)，k∈Z，又|φ|<π，∴φ＝3(2π)

得函数解析式为y＝2sin(2x＋3(2π))．

(2)令z＝2x＋3(2π)，函数y＝sinz的单调递增区间是

[－2(π)＋2kπ，2(π)＋2kπ](k∈Z)

由－2(π)＋2kπ≤2x＋3(2π)≤2(π)＋2kπ

得－12(7π)＋kπ≤x≤－12(π)＋kπ(k∈Z)

所以函数y＝2sin(2x＋3(2π))的递增区间为[－12(7π)＋kπ，－12(π)＋kπ]，k∈Z.

15．[解析]　(1)A＝，T＝23(π)＝π

∴ω(2π)＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

又，0(π)在f(x)图象上，

∴f3(π)＝0.∴sin＋φ(2π)＝0.

∴sin＋φ(2π)＝0.

又－π<φ<0，∴φ＝－3(2π).

∴f(x)＝sin3(2π).

(2)值域是[－，]．

(3)令2x－3(2π)＝2(π)＋kπ(k∈Z)，

∴x＝12(7π)＋2(kπ)(k∈Z)．

∴对称轴是直线x＝12(7π)＋2(kπ)(k∈Z)．