吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.5.1函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案 理 新人教A版必修4

 [导学目标]： 

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，

2.了解三角函数是描述周期变化现象

 

自主梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

 

X
Ωx＋φ
y＝ Asin(ωx＋φ)	0	A	0	－A	0

 

2.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：

（1）相位变换：y＝sin xy＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．

（2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．

（3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变)． 

3．当函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．

函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为________．

自我检测

1．要得到函数y＝sin4(π)的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移8(π)个单位

B．向右平移8(π)个单位

C．向左平移4(π)个单位

D．向右平移4(π)个单位

2．已知函数f(x)＝sin4(π) (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是                          (　　)

A.2(π) B.8(3π) C.4(π) D.8(π)

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋4(π))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象                                                 (　　)

A．向左平移8(π)个单位长度

B．向右平移8(π)个单位长度

C．向左平移4(π)个单位长度

D．向右平移4(π)个单位长度

4．(2011·太原高三调研)函数y＝sin3(π)的一条对称轴方程是                (　　)

A．x＝6(π) B．x＝3(π)

C．x＝12(π) D．x＝12(5π)

5．(2011·六安月考)若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为                                                     (　　)

A．1    B.      C.   D．2

探究点一　三角函数的图象及变换

例1　已知函数y＝2sin3(π).

(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin3(π)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

 

 

 

 

变式迁移1　设f(x)＝2(1)cos2x＋sin xcos x＋2(3)sin2x (x∈R)．

(1)画出f(x)在2(π)上的图象；

(2)求函数的单调增减区间；

(3)如何由y＝sin x的图象变换得到f(x)的图象？

探究点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<2(π)，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．

 

 

 

 

 

变式迁移2　(2011·宁波模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<2(π))的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

(2)若锐角θ满足cos θ＝3(1)，求f(4θ)的值．

 

 

 

 

数形结合思想的应用

 

 

 

 

 

 

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．将函数y＝sin3(π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移3(π)个单位，得到的图象对应的解析式是                        (　　)

A．y＝sin 2(1)x B．y＝sin2(π)

C．y＝sin6(π) D．y＝sin6(π)

2．(2011·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是             (　　)

A．y＝sin6(π)                           B．y＝sin6(π)

C．y＝cos3(π)                          D．y＝cos6(π)

3．为得到函数y＝cos3(π)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象  (　　)

A．向左平移12(5π)个单位长度            B．向右平移12(5π)个单位长度

C．向左平移6(5π)个单位长度            D．向右平移6(5π)个单位长度

4．(2009·辽宁)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，f(2(π))＝－3(2)，则f(0)等于     (　　)

A．－3(2)    B．－2(1)           C.3(2)        D.2(1)