吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.5.2函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案 理 新人教A版必修4

5．(2011·烟台月考)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2(π)，直线x＝3(π)是其图象的一条对称轴，则它的解析式是                (　　)

A．y＝4sin6(π) B．y＝2sin3(π)＋2

C．y＝2sin3(π)＋2 D．y＝2sin6(π)＋2

题号	1	2	3	4	5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

7．(2010·潍坊五校联考)函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移4(π)个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)＝______.

8．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sin6(π) (ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈2(π)，则f(x)的取值范围是____________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2(π)，x∈R)的图象的一部分如下图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[－6，－3(2)]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

 

 

 

 

10．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)．又f(x)的图象关于点N，0(3π)对称且在区间[0，π]上是减函数，求f(x)的解析式．

11．(14分)(2010·山东)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π，

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2(1)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间16(π)上的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案   自主梳理

1.ω(0－φ)　ω(－φ)　ω(π－φ)　ω(－φ)　ω(2π－φ)　0　2(π)　π　2(3π) 2π　2.(1)左　右　|φ|　(2)伸长　缩短　ω(1)　(3)伸长　缩短　A　3.A　ω(2π)　T(1)　ωx＋φ　φ　|ω|(2π)　|ω|(π)

自我检测

1．B　2.D　3.A　4.D　5.B

课堂活动区

例1　解题导引　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；

(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωω(φ)来确定平移单位．

解　(1)y＝2sin3(π)的振幅A＝2，周期T＝2(2π)＝π，初相φ＝3(π).

(2)令X＝2x＋3(π)，则y＝2sin3(π)＝2sin X.

列表：

X	－6(π)	12(π)	3(π)	12(7π)	6(5π)
X	0	2(π)	π	2(3π)	2π
y＝sin X	0	1	0	－1	0
y＝2sin3(π)	0	2	0	－2	0

描点连线，得图象如图所示：

(3)将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的2(1)倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移6(π)个单位，得到y＝sin 26(π)＝sin3(π)的图象；再将y＝sin3(π)的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin3(π)的图象．

变式迁移1　解　y＝2(1)·2(1＋cos 2x)＋2(3)sin 2x＋2(3)·2(1－cos 2x)

＝1＋2(3)sin 2x－2(1)cos 2x＝1＋sin6(π).

(1)(五点法)设X＝2x－6(π)，

则x＝2(1)X＋12(π)，令X＝0，2(π)，π，2(3π)，2π，

 (2)由－2(π)＋2kπ≤2x－6(π)≤2(π)＋2kπ，k∈Z，

得单调增区间为3(π)，k∈Z.

由2(π)＋2kπ≤2x－6(π)≤2(3π)＋2kπ，k∈Z，

得单调减区间为6(5π)，k∈Z.

(3)把y＝sin x的图象向右平移6(π)个单位；再把横坐标缩短到原来的2(1)倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin6(π)＋1的图象．

例2　解题导引　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：

(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝2(M－m)，b＝2(M＋m).(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝T(2π).(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．

解　由图象可知A＝2，T＝8.

∴ω＝T(2π)＝8(2π)＝4(π).

方法一　由图象过点(1,2)，

得2sin×1＋φ(π)＝2，

∴sin＋φ(π)＝1.∵|φ|<2(π)，∴φ＝4(π)，

∴f(x)＝2sin4(π).

方法二　∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．

∴4(π)×1＋φ＝2(π)，∴φ＝4(π)，

∴f(x)＝2sin4(π).

变式迁移2　解　(1)由题意可得：

A＝2，2(T)＝2π，即ω(2π)＝4π，∴ω＝2(1)，

f(x)＝2sinx＋φ(1)，f(0)＝2sin φ＝1，

由|φ|<2(π)，∴φ＝6(π).∴f(x)＝2sin(2(1)x＋6(π))．

f(x0)＝2sin6(π)＝2，

所以2(1)x0＋6(π)＝2kπ＋2(π)，x0＝4kπ＋3(2π) (k∈Z)，

又∵x0是最小的正数，∴x0＝3(2π).

(2)f(4θ)＝2sin6(π)

＝sin 2θ＋cos  2θ，

∵θ∈2(π)，cos θ＝3(1)，∴sin θ＝3(2)，

∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－9(7)，

sin 2θ＝2sin θcos θ＝9(2)，

∴f(4θ)＝×9(2)－9(7)＝9(6－7).

例3　解题导引　(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A＝2(ymax－ymin)；②k＝2(ymax＋ymin)；③ω＝T(2π)；④φ由特殊点确定．

解　(1)由表中数据，知周期T＝12，

∴ω＝T(2π)＝12(2π)＝6(π)，

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；

由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

∴A＝0.5，b＝1，∴y＝2(1)cos 6(π)t＋1.

(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，

∴2(1)cos 6(π)t＋1>1，∴cos 6(π)t>0，

∴2kπ－2(π)<6(π)t<2kπ＋2(π)，k∈Z，

即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①

∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，

得0≤t<3，或9<t<15，或21<t≤24.

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.

变式迁移3　解　(1)t＝0时，E＝220sin 6(π)＝110(伏)．

(2)T＝100π(2π)＝0.02(秒)．

(3)当100πt＋6(π)＝2(π)，t＝300(1)秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏．

课后练习区

1．C　2.D　3.A　4.C　5.D

6.10(9π)

7．－sin 2x

8.，3(3)

9．解　(1)由图象知A＝2，

∵T＝ω(2π)＝8，∴ω＝4(π).…………………………………………………………………(2分)

又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－4(π)＋φ)＝0.

∵|φ|<2(π)，∴φ＝4(π).

∴f(x)＝2sin(4(π)x＋4(π))．…………………………………………………………(5分)

(2)y＝f(x)＋f(x＋2)

＝2sin(4(π)x＋4(π))＋2sin(4(π)x＋2(π)＋4(π))

＝2sin(4(π)x＋2(π))＝2cos4(π)x.……………………………………………………(8分)

∵x∈[－6，－3(2)]，∴－2(3π)≤4(π)x≤－6(π).

∴当4(π)x＝－6(π)，即x＝－3(2)时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；

当4(π)x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.…………………(12分)

10．解　根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(－x)＝f(x)且A＝2，

则有2sin(－ωx＋φ)＝2sin(ωx＋φ)，

即sin ωxcos φ＝0，

∴cos φ＝0，即φ＝kπ＋2(π) (k∈Z)．

而0≤φ≤π，∴φ＝2(π).………………………………………………………(4分)

再由f(x)＝2sin(－ωx＋2(π))＝2cos ωx的图象关于点N，0(3π)对称，f(4(3π))＝2cos(4(3ω)π)＝0

∴cos 4(3ω)π＝0，……………………………………………………………………(8分)

即4(3ω)π＝kπ＋2(π) (k∈Z)，ω＝3(4)2(1) (k∈Z)．

又0<ω≤2，∴ω＝3(2)或ω＝2.………………………………………………(10分)

最后根据f(x)在区间[0，π]上是减函数，

可知只有ω＝3(2)满足条件．

所以f(x)＝2cos 3(2)x.……………………………………………………………(12分)

11．解　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx

＝sin ωxcos ωx＋2(1＋cos 2ωx)

＝2(1)sin 2ωx＋2(1)cos 2ωx＋2(1)

＝2(2)sin4(π)＋2(1).……………………………………………………………(6分)

由于ω>0，依题意得2ω(2π)＝π，所以ω＝1.…………………………………(8分)

(2)由(1)知f(x)＝2(2)sin4(π)＋2(1)，

所以g(x)＝f(2x)

＝2(2)sin4(π)＋2(1).………………………………………………………(10分)

当0≤x≤16(π)时，4(π)≤4x＋4(π)≤2(π).

所以2(2)≤sin4(π)≤1.

因此1≤g(x)≤2(2)，…………………………………………………………(13分)

所以g(x)在此区间内的最小值为1.