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湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A版必修4
上传:admin 审核发布:admin 更新时间:2015-3-30 8:48:10 点击次数:539次

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A版必修4

 【学习目标】

1. 通过对物理中有关概念的分析,了解向量的实际背景,进而深刻理解向量的概念;

2. 掌握向量的几何表示;理解向量的模、零向量与单位向量的概念.

3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:

复习:有一类量如长度、质量、面积、体积等,只有    没有    ,这类量我们称之为数量而力是常见的物理量,重力、浮力、弹力等都是既有    又有    的量;那这样的量叫什么呢?

(二)自主探究:(预习教材P74-P77

探究一:向量的概念:数学中,我们把这种既有        ,又有        的量叫做向量

问题1:数量和向量的异同点有哪些?

探究二:向量的表示法

问题2:向量有几种表示方法?

⑴我们常用         来表示向量,线段按一定比例画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向.       

⑵以为起点,为终点的有向线段记作      ,线段的长度称为模,记作.有向线段包含三个要素:                 

⑶有向线段也可用字母如,       ,表示.

探究三:几个特殊的向量

零向量:长度为   的向量;单位向量:长度等于   的向量

平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量若向量平行,记作:因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量

问题3:如何理解零向量的方向?

探究四:相等向量:长度相等且          的向量叫做相等向量,用有向线段表示的向量相等,记作:.

 

二、合作探究

1、在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量:

,点在点的正北方向;

,点在点南偏东方向.

2、教材P751

学法指导:请将教材上的空白处填好。先用刻度

尺量出图上距离,再算出实际距离。

                 ;           。

3、如下图,设是正六边形的中心,分别写出图中与

 相等的向量.

 

变式:(1)与相等的向量有哪些?

 

     (2相等吗?相等吗?

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A组:1、下列说法正确的是(    ).

 A.向量与向量的长度不等      B两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同 

 C.零向量没有方向                  D.任一向量与零向量平行

2、在四边形中,,则相等的向量是(    ) .

A.       B. 

  C.       D.

3、边长为3的等边的底边上的中线

向量的模为                     .

4、四边形都是平行四边形.

⑴与向量相等的向量有哪些?

 

⑵若,则向量的模等于多少?

B组:1、若,且,则四边形的形状为(    ).

  A.平行四边形  B.菱形   C.矩形  D.等腰梯形

2、下列命题中,说法正确的有         

①若,则;②若,则

③若,则

④若,则,,,是一个平行四边形的四个顶点.

3、在正方体中,与平行的向量有哪些?

 

四、课后作业

五、课后反思

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.2.1向量的加法运算及其几何意义 

【学习目标】

1. 通过实际例子,掌握向量的加法运算,并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及几何意义。

2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:复习:周三大清洁时,两个同学抬着回收箱去卖废品,请同学们做出回收箱的受力图,并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.

(二)自主探究:(预习教材P80P84

探究一:向量加法——三角形法则和平行四边形法则

问题1:在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢?

1、向量加法的三角形法则 :已知非零向量,在平面内任取一点A,作

,则向量__________叫做的和,记作_____________

=_______=__________。这个法则就叫做向量求和的三角形法则。

2、向量加法的平行四边形法则:以同起点O两个向量)为邻边作四边形OACB,则以O为起点对角线___________,就是的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

问题2:想想两个法则有没有共同的地方?

3、对于零向量与任意向量,我们规定+=___________=_______.

探究二:向量加法的交换律和结合律

问题3:数的运算律有哪些?类似的,向量的加法是否也有运算律呢?

4、对于任意向量,向量加法的交换律是:_____________;结合律是:_____________

二、合作探究

1、已知向量,求作向量.

                              

 

讨论:当在数轴上表示两个共线向量时,它们的加法与数的加法有什么关系?

小结1:在三角形法则中 “首尾相接”,是第二个向量的     与第一个向量的     重合.

小结2:当不共线时,               ;

同向时,            ;当反向时,            (或            ).

 

2、一架飞机向北飞行400km,然后改变方向向东飞行300km,求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A组:1. 在平行四边形ABCD中,等于(    )

A      B    C    D 

2. 下列等式不正确的是(    ).

  A.    B.   C.   D.

3. 在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点.下列结论正确的是(  )

A(AB)(CD)(BC)(AD)  B(AD)(OD)(DA)

C(AO)(OD)(AC)(CD)     D(AB)(BC)(CD)(DA)

4. =        ;     =          .

 

 

B组:1、在矩形ABCD,则向量的长度等于(    )

A      B      C12      D6

2已知|(AB)|8|(AC)|5,则|(BC)|的取值范围是           

3EFMN分别是四边形ABCD的边ABBCCDDA

的中点,求证:(EF)(NM)

 

 

 

 

四、课后作业

 

五、课后反思

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义

 

【学习目标】

1. 通过实例,掌握向量减法的运算,并理解其几何意义;

2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题。

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:复习:求作两个向量和的方法有           法则和              法则。

(二)自主探究:(预习教材P85P87

探究:向量减法——三角形法则

问题1:我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢?

相反向量:

    的向量,叫做的相反向量,记作.零向量的相反向量仍是   。

问题2:任一向量与其相反向量的和是什么?

如果是互为相反的向量,那么   ,     ,    .

2、向量的减法:

我们定义,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,即是互为相反的向量,

那么=____________=____________=____________

问题3:请同学们利用相反向量的概念,思考的作图方法.

3、已知,在平面内任取一点O,作,则__________=,即可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量,如果从向量的终点到的终点作向量,那么所得向量是________。这就是向量减法的几何意义以上做法称为向量减法的三角形法则,可以归纳为“起点相接,连接两向量的终点,箭头指向被减数”.

 

二、合作探究

1、阅读并讨论P863和例4

变式:如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(  )

A. (AB)(DC)          B. (AD)(AB)(AC)

C. (AB)(AD)(BD)     D. (AD)(CB)

2、在△ABC中,是重心,分别是的中点,

化简下列两式:

.

 

 

变式:化简.

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A

 

1. 下列等式中正确的个数是(    )

.  ;②;③;  ④;⑤

  A.2       B.3          C.4       D.5

 

 

2. 在△ABC中,,则等于(    )

.  A.   B.   C.   D.

 

 

3. 化简的结果等于(    )

.  A.    B.        C.    D.

 

 

4. 在正六边形中,,则=           .

 

 

 

5. 已知是非零向量,则时,应满足条件                 .

 

 

B

 

1、化简:=_______________

 

2、在△ABC中,向量表示为(    )

  ②     ③   ④

A.①②③    B.①③④    C.②③④   D.①②④

 

四、课后作业

 

五、课后反思

 

 

 

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义

【学习目标】

1. 掌握向量数乘运算,并理解其几何意义;

2. 理解两个向量共线的含义;掌握向量的线性运算性质及其几何意义.

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:复习: 向量减法的几何意义是什么?

(二)自主探究:(预习教材P87P90

探究:向量数乘运算与几何意义

问题1:已知非零向量,作出:①;②.通过作出图形,

同学们能否说明它们的几何意义?                                  

  

1、一般地,我们规定_______________ 是一个向量,这种运算称做向量的数乘记作,它的长度与方向规定如下:

1=________;

2)当_________时,的方向与的方向相同;

_______时,的方向与方向相反,

_________时,=

问题2:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.

2、向量数乘运算律,设为实数。

1_______;  (2_________;  (3_________

4________=___________;     (5______________

6)对于任意向量,,任意实数恒有=_______________

问题3:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系?

3、两个向量共线(平行)的等价条件:如果共线,那么_____________

二、合作探究

1、计算:

;                        ⑵;     

.

已知两个两个向量不共线,

求证:三点共线.

 

 

 

 

 

 

如图,平行四边形的两条对角线相交于点,且

你能用表示吗?                    

 

 

 

 

 

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A

1. 下列各式中不表示向量的是(    )

  A.        B.     C.         D.,且) 

2. 下列向量共线的有(    )

  ①;  ②;  ③

  ④不共线)

  A.②③        B.②③④     C.①③④      D.①②③④

3. 中,,且与边相交于点的中线相交于点.,用分别表示向量.

 

 

 

 

 

 

B

1、设两非零向量不共线,且,则实数k的值为    

2、若,则的取值范围是(   )

 A.      B.      C.       D.

 

四、课后作业

五、课后反思

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

                            §2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

【学习目标】

1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意义;

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.。 

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:

复习1:向量是共线的两个向量,则之间的关系可以表示为        .

复习2:给定平面内任意两个向量,请同学们作出向量.

 

 

(二)自主探究:(预习教材P93P96

探究:平面向量基本定理

问题1:复习2中,平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢?

1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个          的向量,是这一平面内的任一向量,那么有且只有一对实数使                 。其中,不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2:如果两个向量不共线,则它们的位置关系我们怎么表示呢?

2.两向量的夹角与垂直::我们规定:已知两个非零向量,作,则        叫做向量的夹角。如果的取值范围是            。当               时,表示同向;当             时,表示反向;当               时,表示垂直。记作:.在不共线的两个向量中,,即两向量垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为_____________,叫做把向量正交分解。

问题3:平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示对于直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?

3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数xy使得____________,这样,平面内的任一向量都可由__________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作=___________此式叫做向量的坐标表示,其中x叫做x轴上的坐标,y叫做y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示

二、合作探究

学法引领:首先画图分析,然后寻找表示。

1、已知梯形中,,且分别是的中点,设。试用为基底表示.

 

 

2、已知是坐标原点,点在第一象限,,求向量的坐标.

 

 

 

 

 

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

 

A

1. 是平行四边形两对角线的交点,下列向量组,其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是(    )

  A.①②             B.③④                C.①③          D.①④

2. 已知向量不共线,实数满足,则的值等于(    )

  A.               B.                  C.            D.

 

3. 为平面上三点,为线段的中点,则(    )

  A.    B.    C.    D.

4.已知是同一平面内两个不共线的向量,且=2++=2,如果A,B,D三点共线,则k的值为     

 

 

B

1、已知AM是△ABC的BC边上的中线,若,则=(  )

A.  )B. -  )C.- )D. 

2、已知点A22)  B-22)  C46)  D-56)  E-2-2)  F-5-6

在平面直角坐标系中,分别作出向量并求向量的坐标。

 

 

四、课后作业

五、课后反思

 

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.3.3  平面向量的坐标运算

【学习目标】

1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算;能用两端点的坐标,求所构造向量的坐标;

2. 体会向量是处理几何问题的工具培养细心、耐心的学习习惯,提高分析问题的能力。

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:复习:⑴向量是共线的两个向量,则之间的关系可表示为            .

⑵向量是同一平面内两个不共线的向量,为这个平面内任一向量,则向量可用表示为             。

(二)自主探究:(预习教材P96P97

究:平面向量的坐标运算

问题1:已知,能得出的坐标吗? 

1、已知:为一实数

=__________________________ _=___________               

这就是说,两个高量和(差)的坐标分别等于__________________           ____

=_______________这就是说,实数与向量的积的坐标等于:________________________

问题2:如图,已知,则怎样用坐标表示向量呢?

2、若已知,

=_____________=___________________

即一个向量的坐标等于此向量的有向线段

________________________

问题3:你能在上图中标出坐标为点吗?标出点后,

你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗?  

 

二、合作探究

1、已知,求.

 

 

2、已知平行四边形的顶点,试求:

1)顶点的坐标.

2)若的交点为,试求点的坐标.

 

 

3已知ABC中,A(7,8)B(3,5)C(4,3)MNABAC的中点,DBC的中点,

MNAD交于点F,求(DF).

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

 

A

 

1. 若向量与向量相等,则(    )

A.        B.       C.       D.

 

2. 已知,点的坐标为,则的坐标为(    )

A.      B.      C.    D.

 

3. 已知,则等于(    )

A.            B.          C.          D. 

   

4. 设点,求点的坐标。

 

 

 

 

 

 

B

1已知点A(1,-5)和向量(2,3),若(AB)3,则点B的坐标为(  )

A(6,9)   B(5,4)         C(7,14)   D(9,24)

 

2已知圆C(x3)2(y3)24及点A(1,1)M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且(MA)2(AN),求点N的轨迹方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

四、课后作业

 

五、课后反思

 

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义

【学习目标】

1. 在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几何意义;

2. 掌握数量积的运算式及变式;掌握并能熟练运用数量积的运算律;掌握模长公式.

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:

如右图,如果一个物体在力的作用下产生位移

那么力所做的功              ,其中的夹角.

 

(二)自主探究:(预习教材P103P105

探究:平面向量数量积的含义

问题1:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这给我们一种启示,

能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢?

1、平面向量数量积的定义:已知两个______向量,我们把______________的数量积。(或________)记作____________________________其中的夹角。__________叫做向量方向上的______。我们规定:零向量与任意向量的数量积为____

问题2:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正?什么时候为负?

2、平面向量数量积的性质:设均为非空向量:

___________

②当同向时,________ 当反向时,_______ _

特别地, _____________________

___________        _               ④_______        ____

.的几何意义:______________                  ______________________

问题3:运算律和运算紧密相连,引进向量数量积后,自然要看一看它满足怎么样的运算律,同学们能推导向量数量积的下列运算律吗?

3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量与实数

___________;②___________;③___________

问题4:我们知道,对任意,恒有 

对任意向量,是否也有下面类似的结论?

                   ;    ⑵                   .

二、合作探究

1、已知,且的夹角,求.

变式1:若,且,则是多少?

变式2:若,且,则是多少?

变式3:若,且的夹角,求

变式4:若,且,求的夹角。

2、在平行四边形中,,求.

 

 

 

变式:判断下列命题的真假,并说明理由.

⑴在中,若,则是锐角三角形;

 

 

⑵在中,若,则是钝角三角形;

 

 

为直角三角形,则.

 

 

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A

1. ,则的夹角为(    )

  A.             B.            C.            D. 

2. 已知,当时,为(    )

  A.钝角三角形      B.直角三角形      C.锐角三角形      D.等腰三角形 

 

3. 已知平面内三个点,则向量的夹角为(    )

  A.              B.             C.             D.

 

4. 已知,且,则向量在向量的方向上的投影为      .

 

5. 已知向量满足,则       .

 

6. 已知的夹角为,求:⑴;⑵;⑶.

 

B

1. 已知的夹角为,且,则为(    )

  A.      B.       C.       D.

2. 已知,且垂直,则的夹角为(    )

  A.     B.     C.     D.

 

 

四、课后作业

 

五、课后反思

 

 

 

 

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【学习目标】

1. 在坐标形式下,掌握平面向量数量积的运算公式及其变式(夹角公式);

2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

【学习过程】

一、自主学习

(一)知识链接:复习:1.向量的数量积=            .

2.是非零向量,是与方向相同的单位向量,的夹角,

则①               ;②            ;③                  .

(二)自主探究:(预习教材P106P108

探究:平面向量数量积的坐标表示

问题1:已知两个非零向量,怎样用的坐标表示呢?

1. 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量           (坐标形式)。

这就是说:(文字语言)两个向量的数量积等于                   。

问题2:如何求向量的模和两点间的距离?

2.平面内两点间的距离公式

(1)设________________________________

(2)若,则=___________________(平面内两点间的距离公式)。

问题3:如何求的夹角和判断两个向量垂直?

3.两向量夹角的余弦:设的夹角,则________________________

向量垂直的判定:设_________________

二、合作探究

1、已知

1)试判断的形状,并给出证明.             2)若ABDC是矩形,求D点的坐标。

 

 

 

 

 

2、已知,求的夹角.

 

 

 

变式:已知______________.

 

 

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A

1. 已知,则等于(    )

  A.  &n, bsp;     B.        C.       D.

2. ,则夹角的余弦为(    )

  A.        B.       C.      D.

3. ,则=                 

 

 

4.已知向量,若,则            。

 

 

5.已知四点求证:四边形是直角梯形.

 

 

 

 

B

1. 已知,且,求:

1;                  (2的夹角.

 

 

 

 

 

 

2. 已知点,问能否在轴上找到一点,使,若不能,说明理由;若能,求点坐标.

 

 

 

 

四、课后作业

 

五、课后反思

 

 

 

 

 

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.5.1平面几何中的向量方法

【学习目标】

1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用;会用向量知识解决几何问题;

2. 能通过向量运算研究几何问题中点,线段,夹角之间的关系.

【学习过程】

一、自主学习(预习教材P109P111

问题1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型如下图,,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗? 

结论:                                

 

 

 

 

 

 

问题2:平行四边形中,点分别是边的中点,分别与交于两点,你能发现之间的关系吗?

结论:                                 

 

 

 

 

 

 

问题3:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的?

 

⑴                                                                      ;

 

⑵                                                                      ;

 

⑶                                                                      。

 

二、合作探究

1、在中,若,判断的形状.

 

 

 

 

 

 

2、设是四边形,若,证明: 

 

 

 

 

 

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A

1. 中,若,则为(    )

  A.正三角形       B.直角三角形      C.等腰三角形     D.无法确定 

 

 

2. 已知在中,,边上的高,

则点的坐标为(    )

  A.           B.           C.          D. 

3. 已知,则△ABC的形状为               .

 

 

 

4. 求通过点,且平行于向量的直线方程.

 

 

 

5. 已知ABC是直角三角形,CACBDCB的中点,EAB上的一点,

AE2EB.求证:ADCE.

 

 

 

 

B

1. 已知直线axbyc0与圆Ox2y24相交于AB两点,且|AB|2

(OA)·(OB)________.

2. (2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2)B(2,3)

 C(2,1)

(1)求以线段ABAC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

(2)设实数t满足((AB)t(OC)(OC)0,求t的值.

 

 

四、课后作业

五、课后反思

班级:             组别:             组号:___________        姓名:                  

 

§2.5.2向量在物理中的应用举例

【学习目标】

掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用,实现学科与学科之间的融合,会用向量知识解决一些物理问题.

【学习过程】

一、自主学习(预习教材P111P112

问题1:向量与力有什么相同点和不同点? 

结论:向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一           的用向量知识解决力的问题,往往是把向量       到同一作用点上.

 

问题2:向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系?

结论:速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.

 

问题3:向量的数量积与功、动量有什么联系?

结论:物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积.

⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角,即,功是一个实数,它可正,也可负.

⑵在解决问题时要注意数形结合.

 

二、合作探究

1、用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量,则每根绳子的拉力大小是多少?

 

 

 

 

 

2、一条河宽为,一船从出发航行垂直到达河正对岸的处,船速为.水速为,则船到达处所需时间为多少分钟?

 

 

 

 

 

 

3、已知两恒力作用于同一质点,使之由点移动到点,试求:

分别对质点所做的功;

的合力对质点所做的功.

 

 

 

 

 

 

 

三、目标检测(A组必做,B组选做)

A

1. 当两人提起重量为的书包时,夹角为,用力为,则三者的关系式为(  )

  A.            B.        C.        D.

2. 人骑自行车的速度为,风速为,则逆风行使的速度大小为(   )

  A.           B.           C.         D.

3. 用两条成的绳索拉船,每条索上的拉力为,则合力为           .

 

 

 

 

4. 某人以时速向东行走,此时正刮着时速的南风,那么此人感到的风向为          ,风速为          .

 

 

 

 

B

1. 一物体受到相互垂直的两个力f1f2的作用,两力大小都为5N,则两个力的合力的大小为(  )   A10    B0N    C5    D.2(6)N

2. 一条宽为km的河,水流速度为2km/h,在河两岸有两个码头AB,已知ABkm,船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少?

 

 

 

 

 

 

 

四、课后作业

 

五、课后反思

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