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"福建省福州市平潭县城东中学高中数学 2.4平面向量的数量积教案 新人教A版必修4 "
上传:admin 审核发布:admin 更新时间:2015-3-30 9:05:19 点击次数:768次

"福建省福州市平潭县城东中学高中数学 2.4平面向量的数量积教案 新人教A版必修4 "

教学目的:

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点:平面向量的数量积定义

教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型:新授课

教    具:多媒体、实物投影仪

内容分析:

    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律.

教学过程:

一、复习引入:

1. 向量共线定理  向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使.

2.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2

3.平面向量的坐标表示

  分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数,使得

叫做向量的(直角)坐标,记作

4.平面向量的坐标运算

,则.

,则

5. (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6.线段的定比分点及λ

  P1, P2是直线l上的两点,Pl上不同于P1, P2的任一点,存在实数λ,

使 =λ,λ叫做点P所成的比,有三种情况:

λ>0(内分)      (外分λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7. 定比分点坐标公式:

若点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ为实数,且=λ,则点P的坐标为(),我们称λ为点P分所成的比.

8. 点P的位置与λ的范围的关系:

①当λ>0时,同向共线,这时称点P为的内分点.

②当λ<0()时,反向共线,这时称点P为的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式:

在平面内任取一点O,设=a,=b,

可得=.

10.力做的功:W = |F|×|s|cosqqFs的夹角.

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

说明:(1)当θ=0时,a与b同向;

(2)当θ=π时,a与b反向;

(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0°q≤180°

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b = |a||b|cosq

(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

 

×探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosq的符号所决定.

2)两个向量的数量积称为内积,写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b,而a×b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.

(3)在实数中,若a¹0,且a×b=0,则b=0;但是在数量积中,若a¹0,且a×b=0,不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.

(4)已知实数abc(b¹0),则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 

   如右图:a×b = |a||b|cosb = |b||OA|b×c = |b||c|cosa = |b||OA|

Þ a×b = b×c  a ¹ c

 (5)在实数中,有(a×b)c = a(b×c),但是(a×b)c ¹ a(b×c)

                显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般ac不共线.

3.“投影”的概念:作图

              

定义:|b|cosq叫做向量ba方向上的投影.

投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q = 0°时投影为 |b|;当q = 180°时投影为 -|b|.

4.向量的数量积的几何意义:

数量积a×b等于a的长度与ba方向上投影|b|cosq的乘积.

5.两个向量的数量积的性质:

ab为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.

1°  e×a = a×e =|a|cosq

2°  a^Û a×b = 0

3°  当ab同向时,a×b = |a||b|;当ab反向时,a×b = -|a||b|. 特别的a×a = |a|2

4°  cosq =

5°  |a×b|  |a||b|

三、讲解范例

已知|a|=5, |b|=4, ab的夹角θ=120o,a·b.

已知|a|=6, |b|=4, ab的夹角为60o(a+2b)·(a-3b).

已知|a|=3, |b|=4, ab不共线,k为何值时向量a+kba-kb互相垂直

例4 判断正误,并简要说明理由.

①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.

解:上述8个命题中只有③⑧正确;

对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0;对于②:应有0·a=0;

对于④:由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a|·|b|;

对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0;

对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零;

对于⑦:若a与с共线,记a=λс.

则a·b=(λс)·b=λ(с·b)=λ(b·с),

∴(a·b)·с=λ(b·с)с=(b·с)λс=(b·с)a

若a与с不共线,则(a·b)с≠(b·с)a.

评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b.

解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,

∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18;

若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,

∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,

∴a·b=0;

③当a与b的夹角是60°时,有

a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当a∥b时,有0°或180°两种可能.

四、课堂练习:

1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是(    )

A.60°         B.30°          C.135°         D.45°

2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,那么向量m=a-4b的模为(   )

A.2            B.2          C.6            D.12

3.已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的(    )

A.充分但不必要条件               B.必要但不充分条件

C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a、b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=            .

5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么a·b=           .

6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=______.

7.已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夹角为60°,求|a+b|;(3)若a-b与a垂直,求a与b的夹角.

8.设m、n是两个单位向量,其夹角为60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.

9.对于两个非零向量a、b,求使|a+tb|最小时的t值,并求此时b与a+tb的夹角.

五、小结(略)  

六、课后作业(略)

七、教学后记:

 

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