湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.5平面向量应用举例学案 新人教A版必修4

 

课内探究学案

一、学习内容

1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.

2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.

二、学习过程

探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？

 

 

 

例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

已知：平行四边形ABCD．

求证：．

 

 

 

 

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

（1）建立平面几何与向量的联系，

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设

（1）证明A、O、E三点共线；

（2）用表示向量。

 

 

 

 

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的 中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

 

 

 

 

 

探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？

  

 

 

 

 

 

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

 

 

 

 

 

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

 

 

 

 

 

 

 

变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s;  (2)计算s在方向上的投影。

 

 

 

 

 

三、当堂检测

1.已知，求边长c。

 

 

 

 

 

 

2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。

 

 

 

 

3.在平面上的三个力作用于一点且处于平衡状态，的夹角为，求：

（1）的大小；（2）与夹角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

课后练习与提高

一、 选择题

1.给出下面四个结论：

① 若线段AC=AB+BC，则向量；

② 若向量，则线段AC=AB+BC；

③ 若向量与共线，则线段AC=AB+BC;

④ 若向量与反向共线，则.

其中正确的结论有   （    ）

A. 0个       B.1个          C.2个           D.3个

2.河水的流速为2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度驶向对岸，则小

船的静止速度大小为  （   ）

A.10     B.    C.     D.12

3.在中，若=0，则为 (    ）

A.正三角形   B.直角三角形   C.等腰三角形   D.无法确定

二、填空题

4.已知两边的向量，则BC边上的中线向量用、表示为             

5.已知，则、、两两夹角是