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云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 等差数列的前n项和教学案 新人教A版必修5
“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣,进而引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究,逐步引出求和公式以及公式的变形,初步形成对等差数列的前n项和公式的认识,让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,所以,在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫,从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式,要采用设计变式题的教学手段.
通过本节的例题的教学,使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性,以及如何去建立数学模型的方式方法,培养学生善于从实际情境中去发现数列模型,促进学生对本节内容的认知结构的形成.
教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.
教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等
教学目标
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
教学过程
导入新课
教问题出示投影胶片1:
印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格拉市,泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征.
陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗?(这问题赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.
问题 对,问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢?这里还有一段故事.
教问题出示投影胶片2:
高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老问题出了一道题目,老问题说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:
“1+2+3+…+100=5 050.”
教问题问:“你是如何算出答案的?”
高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以101×50=5 050.
问题 这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?
问题 对,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5 050了.
问题 问:数列1,2,3,…,100是什么数列?而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么?
推进新课
[合作探究]
问题 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中我们取下第1层到第21层,得到右图,则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?
问题 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?
问题 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,真是太好了!我将他的几何法写成式子就是:
1+2+3+…+21,
21+20+19+…+1,
对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)
这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
现在我将求和问题一般化:
(1)求1到n的正整数之和,即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注:这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)
(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn?
[方法引导]
问题 如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项为an,则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行,若已知首项a1,项数为n,公差d,则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.
引导学生总结:这些公式中出现了几个量?
问题 如果我们用方程思想去看这两个求和公式,你会有何种想法?
问题 当公差d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数,且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.
[知识应用]
【例1】 (直接代公式)计算:
(1)1+2+3+…+n;
(2)1+3+5+…+(2n-1);
(3)2+4+6+…+2n;
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.
(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)~(3),并请一位同学回答.
生 (1)1+2+3+…+n=;(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2;(3)2+4+6+…+2n= =n(n+1).
问题 第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能,那应如何解答?(小组讨论后,让学生发言解答)
问题 很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解.
【例2】 (课本第49页例1)
分析:这是一道实际应用题目,同学们先认真阅读此题,理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?
【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?
问题 首项与公差现在都未知,那么应如何来确定?
问题 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中,有5个变量.已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.
[合作探究]
问题 请同学们阅读课本第50页的例3,阅读后我们来互相进行交流.
(给出一定的时间让学生对本题加以理解)
问题 本题是给出了一个数列的前n项和的式子,来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?
问题 对的,通项与前n项的和公式有何种关系?
问题 回答的真好!由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n≥2时,an=Sn-S n-1,
即an=S1(n=1),
Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-,我们从中知它是等差数列,这时当n=1也是满足的,但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时,an=Sn-Sn-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.
问题 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0,且是关于n的二次型函数,则这个数列一定是等差数列,从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.
课堂练习
等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?
(学生板演)
解:设题中的等差数列为{an},前n项和为Sn,
则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,
由公式可得-10n+×4=54.
解之,得n1=9,n2=-3(舍去).
所以等差数列-10,-6,-2,2…前9项的和是54.
(教问题对学生的解答给出评价)
课堂小结
问题 同学们,本节课我们学习了哪些数学内容?
①等差数列的前n项和公式1:,
②等差数列的前n项和公式2:.
问题 通过等差数列的前n项和公式内容的学习,我们从中体会到哪些数学的思想方法?
①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
②“知三求二”的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量.
问题 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?
如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0,且是关于n的二次型函数,则这个数列一定是等差数列,否则这个数列就不是等差数列,从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.
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