透视平面直角坐标系中的作图题

 

 

在平面内建立起平面直角坐标系以后，平面内的点与坐标就有了一一对应的关系，数与形有机地结合在一起。下面就归类分析近年来中考坐标系中作图问题的常见题型。

 

1、平移作图

例1、如图1，在中，，且点的坐标为（4，2）．

画出向下平移3个单位后的（08福建福州改编）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析：在解答图形坐标的平移问题时，要善于抓住图形的关键点，只要把构成图形的关键按照要求进行平移，得到平移的对应点，最后按照原图形的顺序依次连接对应点，就得到原图形平移后的新图形了。

但是，点的坐标在平移时，严格遵循如下平移规律：

若点P（x，y）向左平移a（a>0）个单位，则对应点的横坐标是x减去a，纵坐标不变；

若点P（x，y）向右平移a（a>0）个单位，则对应点的横坐标是x加上a，纵坐标不变；

若点P（x，y）向上平移b（b>0）个单位，则对应点的纵坐标是y加上b，横坐标不变；

 

若点P（x，y）向下平移b（b>0）个单位，则对应点的纵坐标是y减去b，横坐标不变。

 

解：

因为三角形OAB的三个关键点分别是A、B、O，并且它们的坐标分别是（4，0），（4，2）和（0，0）

所以，它们向下平移时，各个点的横坐标是保持不变的，只需把各自的纵坐标分别减去平移的单位数，

所以，

A（4，0）向下平移3个单位后到达A₁(4，0-3),即A₁(4，-3),

B（4，2）向下平移3个单位后到达B₁(4，2-3),即B₁(4，-1),

O（0，0）向下平移3个单位后到达O₁(0，0-3),即O₁(0，-3),

依次连接O₁A₁，A₁B₁，B₁O₁，则三角形即为所求。如图2所示。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、旋转作图

例2、如图3，在中，，且点的坐标为（4，2）．

画出绕点逆时针旋转后的，并求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．（08福建福州改编）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析：要想解决坐标系的旋转问题，同学们要做好四种知识准备：

1、找准旋转中心；

2、找准旋转角度；

3、找准旋转的线或点；

4、确定旋转的方向。

在这个问题中，准旋转中心是O，旋转角度是90°，参与旋转的关键点是A、B，线段是OA、OB，旋转的方向是逆时针。按照旋转时对应线段长度不变的原则，就可以作出旋转后的对应线段或对应点。

解：如作图4所示。

点旋转到点所经过的路线实际上一条弧长，

并且弧所在的扇形的半径为4，圆心角为90°，

所以，点旋转到点所经过的路线长为：

==2π。

 

例3、如图5，已知，若将绕点按顺时针方向旋转后得到A₁B₁C₁，则A点对应点A₁的坐标是_________．(08梅州)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析：利用网格上的直角三角形的全等，和同角的余角相等的原理，就比较容易找出旋转后的对应点。

解：如图6所示，A点对应点A₁的坐标是（3，0）。

3、对称作图

例4、如图7，在平面直角坐标系中，，，．

（1）在图8中作出关于轴的对称图形．

（2）写出点的坐标．（08年贵阳市）

分析：

常见的对称作图主要有三种：

1、关于x轴对称的作图：

根据两个关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数的原理，即可在坐标系中确定对称点的位置。

2、关于y轴对称的作图：

根据两个关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数的原理，即可在坐标系中确定对称点的位置。

3、关于原点对称的作图：

根据两个关于原点轴对称，横坐标变为原坐标的相反数，纵坐标变为原坐标的相反数的原理，即可在坐标系中确定对称点的位置。

这类作图的技巧是：先根据对称的性质，确定对称点的坐标，用与原图形的字母顺序相同的方式，依次连接对称点，就得到原图形的对称图形了。

 

解：因为，，，，

所以，它们关于y轴对称的对应点的坐标分别是A₁（1，5），B₁（1，0），C₁（4，3），

如图8所示，就是所求的对称图形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例5、如图9，在平面直角坐标系中按下列要求作图．

作出三象限中的小鱼关于轴的对称图形。（08凉山州）

 

分析：要想作出小鱼的对称图形，我们只需抓住小鱼身上的几个关键点，确定出这些关键点的坐标，然后，再根据对称的性质，分别确定这些点的对称点的坐标，在按照与原图形的顺序相同的方式，连接这些对称点，就得到对称图形了。

 

解：作图请同学们自己补充上吧。

 

 

 

 

 

 

 

4、位似作图

 

例6、如图10，在同一方格纸中，并在轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．(08梅州)

 

 

 

 

分析：

坐标中的位似图形的作图，是非常有趣的。作图的要领，要记准：

1、确定出图形上的几个关键点；

2、把原来点的横坐标、纵坐标分别按照位似比扩大或者缩小为原来坐标的位似比倍，得到新坐标；

3、按照与原来图形顺序相同方式，依次连接这些关键点，就得到所球的位似图形了。

仔细观察小金鱼，它身上有四个关键点，分别是：

点A（0，1）、点B（4，-1）、点C（3，0）、点D（4，3），

所以，按照位似比为1：2扩大后的对应坐标分别是:

A′（0，2），B′（8，-2）,C′（6，0）,D′（8，6），

在坐标系中，分别描出这些点的位置，依次连接A′B′, B′C′, C′D′, D′A′，

就得到所求作的图形了。

解：

所求作的图形，如图11所示。