27．2　相似三角形

第1课时　相似三角形的判定

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠B＝20°，那么△DEF的各角的度数分别是______________．

2．如图27-2-11，直线CD∥EF，若OE＝7，CE＝4，则＝____________.

                                                     

图27-2-11

3．已知△ABC∽△A′B′C′，如果AC＝6，A′C′＝2.4，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为________．

4．如图27-2-12，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则________∽________.

图27-2-12

5．如图27-2-13，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形(　　)

A．2对  B．3对  C．4对  D．5对

图27-2-13

6．在△ABC和△A′B′C′中，有下列条件：

①＝；②＝；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.

如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(　　)

A．1组     B．2组     C．3组    D．4组

7．如图27-2-14，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，求证：AD²＝CD·BD.

图27-2-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8．已知线段AB，CD相交于点O，AO＝3，OB＝6，CO＝2，则当CD＝________时，AC∥BD.

9．如图27-2-15，已知△ABC，延长BC到点D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.

(1)求的值；

(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．

图27-2-15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．如图27-2-16，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.

(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；

(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

图27-2-16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第2课时　相似三角形的性质及其应用举例

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，AB＝3，对应边A′B′＝4，若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A′B′C′D′的面积为(　　)

A.  B.  C．24  D．32

2．若把△ABC的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A′B′C′，则下列结论不可能成立的是(　　)

A．△ABC∽△A′B′C′

B．△ABC与△A′B′C′的相似比为

C．△ABC与△A′B′C′的各对应角相等

D．△ABC与△A′B′C′的相似比为

3．如图27-2-24，球从A处射出，经球台边挡板CD反射到B，已知AC＝10 cm，BD＝15 cm，CD＝50 cm，则点E距离点C(　　)

图27-2-24

A．40 cm     B．30 cm   C．20 cm    D．10 cm

4．已知△ABC和△DEF相似且对应中线的比为3∶4，则△ABC和△DEF的周长比为____________．

5．高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为______米．

6．如图27-2-25，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，且AD＝BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE＝2∶1，则＝________.

图27-2-25

7．如图27-2-26，直立在B处的标杆AB＝2.4 m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8 m，FB＝2.5 m，人高EF＝1.5 m，求树高CD.

图27-2-26

 

 

 

 

 

 

8．如图27-2-27是测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，下列叙述错误的是(　　)

图27-2-27

 

A．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高

B．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高

C．可以利用△ABC∽△EDB，来计算旗杆的高

D．需要测量出AB，BC和DB的长，才能计算出旗杆的高

9．如图27-2-28，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝

CD.

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

图27-2-28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．(2011年广东中考改编)如图27-2-29(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；

(1)取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，如图27-2-29(2)中阴影部分，求正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁的面积；

(2)取△A₁B₁C₁和△D₁E₁F₁各边中点，连接成正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E₂，如图27-2-29(3)中阴影部分，求正六角星形A₂F₂B₂D₂C₂E₂的面积.

(3) 取△A₂B₂C₂和△D₂E₂F₂各边中点，连接成正六角星形A₃F₃B₃D₃C₃E₃，依此法进行下去，试推测正六角星形A_nF_nB_nD_nC_nE_n的面积.

  

图27-2-29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27．2　相似三角形

第1课时　相似三角形的判定

【课后巩固提升】

1．∠D＝80°，∠E＝20°，∠F＝80°

2.　3.2∶5

4．△ABC　△ADE

5．B　解析：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC.

6．C　解析：①②，②④，③④都能△ABC∽△A′B′C′.

7．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.

∴∠C＋∠CAD＝90°.

又∵∠BAC＝90°，∴∠C＋∠B＝90°.

∴∠B＝∠CAD.∴△ADC∽△BDA.

∴＝，即AD²＝CD·BD.

8．6　解析：∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD.∴＝.∴DO＝4.∴CD＝6.

9．解：(1)过点C作CG∥AB，交DF于点G.

∵点C为BD的中点，

∴点G为DF的中点，CG＝BF＝AF.

∵CG∥AB，∴△AEF∽△CEG.

∴＝＝2.

∴AE＝2CE.∴＝＝＝.

(2)∵AB＝a，∴FB＝AB＝a.

又∵FB＝EC，∴EC＝a.

∴AC＝3EC＝a.

10．解：(1)∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC.

∴＝.

又∵AD＝8－2x，AB＝8，AE＝y，AC＝6，

∴＝.

∴y＝－x＋6.

自变量x的取值范围为0≤x≤4.

(2)S＝BD·AE＝·2x·y＝－x²＋6x.

(3)S＝－x²＋6x＝－(x－2)²＋6.

∴当x＝2时，S有最大值，且最大值为6.

第2课时　相似三角形的性质及其应用举例

【课后巩固提升】

1．D　2.B　3.C

4．3∶4　5.9　6.

7．解法一：如图D57，过点E作EG⊥CD，交CD于点G，交AB于点H.

图D57

因为AB⊥FD，CD⊥FD，

所以四边形EFBH、EFDG是矩形．

所以EF＝HB＝GD＝1.5，EH＝FB＝2.5，

AH＝AB－HB＝2.4－1.5＝0.9，

CG＝CD－GD＝CD－1.5，

EG＝FD＝FB＋BD＝2.5＋8＝10.5.

因为AB∥CD，所以△EHA∽△EGC.

所以＝，

即CG＝＝＝3.78.

所以CD＝CG＋GD＝3.78＋1.5＝5.28，

故树高CD为5.28 m.

 

 

 

 

 

解法二：如图D58，延长CE，交DF的延长线于点P.

图D58

设PF＝x，因为EF∥AB，

所以△PEF∽△PAB.

所以＝，

即＝，解得x＝，即PF＝.

因为EF∥CD，所以△PFE∽△PDC.

所以＝，即＝，

＝.解得CD＝5.28.

故树高CD为5.28 m.

8．B

9．(1)证明：∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠E.

∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C，

∴△ABF∽△CEB.

(2)解：∵DE＝CD，∴DE＝EC.

由DF∥BC，得△EFD∽△EBC.

∴＝²＝²＝.

,

∴S_△EBC＝9S_△EFD＝9×2＝18.

S_{四边形BCDF}＝S_△EBC－S_△EFD＝18－2＝16.

由AB∥DE，得△ABF∽△DEF.

∴＝²＝.∴S_△ABF＝4S_△DEF＝4×2＝8.

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABF＋S_{四边形BCDF}＝8＋16＝24.

10．解：(1)∵正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁是取△ABC和△DEF各边中点构成的，

∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A₁F₁B₁D₁C₁E₁，且相似比为2∶1.

∴＝＝2².

∴＝.

(2)同(1)，得＝4，

∴＝.

(3)＝.