数学奥林匹克初中训练题3

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.给出如下4个命题:

①若m、n为已知数，单项式2x⁵y^n-2与(m+5)x^|m-n+4|y的和为单项式，则m+n的值为-3或7.

②若M、N都是只含有一个字母x的多项式，M、N的次数分别为6次、3次，则M-N²是次数不超过6的多项式.

③若m为自然数，则关于x的方程(-x)^m+1(-x)^2m-2(-x)^3m+1=x^x+1x^6m-1的解是x=-1，0，1.

④已知AM、DN分别是△ABC、△DEF的高，AB=DE，AC=DF，AM=DN.若∠BAC=40°，∠ABC=35°，则∠DFE=105°.其中，错误命题的个数是(    )个.

(A)0         (B)1或2        (C)3        (D)4

2.如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使∠MBN=135°.则MN的最小值是(    ).

(A)1+         (B)2+          (C)3+      (D)2 

3.已知实数a、b、c满足.则代数式ab+ac的值是(    ).

(A)-2         (B)-1        (C)1        (D)2

4.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=18，D是AB上一点，AC=BD，E是CD的中点.则AE的长是(    ).

(A)12      (B)9          (C)9      (D)以上都不对

5.已知实数a、b、c、d满足2 005a³=2 006b³=2 007c³=2 008d³，

则a^-1+b^-1+c^-1+d^-1的值为(    ).

(A)1         (B)0        (C)-1        (D)±1

6.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，P是线段AB上一点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为(    ).

(A)3      (B)4     (C)6     (D)8

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B，AB=a²-4b+4，AC=8c-27-2b²，CD=9+4a-c².则BC=        .

2.已知实数a、b、c满足a-b+c=7，①ab+bc+b+c²+16=0.②

则(a^-1-b^-1)^abc(a+b+c)^a+b+c的值为        .

3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD= AB.则∠FEG的度数是        .

4.如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图，点A、B在x轴上，E(2，6)，F(3，4).折线OFE是流过这片沙漠的水渠，水渠东边的沙漠由甲承包绿化，水渠西边的沙漠由乙承包绿化.现甲乙两人协商:在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直，并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变.若准备在AB上找一点P，使得水渠取直为EP，则点P的坐标为        .

第二试

一、(20分)现有三个圆柱型的容器M、N、P，其轴截面如图(a)、(b)、(c)所示，内底面积分别为S₁cm²、S₂cm²、S₃cm²，内高分别为h₁cm、h₂cm、h₃cm，容积分别为V₁cm³、V₂cm³、V₃cm³(V₁>V₂>V₃).这三个圆柱型容器M、N、P可以拼成六个不同形状的容器(将三个容器从上至下依次拼接为PNM、NPM、PMN、MPN、NMP、MNP)，其容积为M、N、P的容积之和.

现向这6个容器均匀注水，注水速度相同，直至注满为止.其中有三个容器的水深h(cm)与注水时间t(s)的变化规律如图7、8、9所示.

 (1)图7、8、9所反映的规律分别是这6个容器中的哪一个?

(2)求h₁、h₂、h₃的值及S₁∶S₂∶S₃的比值;

(3)若V₃=cm³，注水速度为cm³／s，其中m、n为常数，求M、P、N这三个容器的容积之和.

二、(25分)如图10，两条平行线l₁、l₂之间的距离为6，l₁、l₂间有一半径为1的定圆⊙O切直线l₂于点A，P是直线l₁上一动点.过P作⊙O的两条切线PB、PC，切点分别为B、C，分别交直线l₂于点M、N.试问AM·AN是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.

三、(25分)已知k为常数，关于x的一元二次方程(k²-2k)x²+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值.