第二十七章 相似 单元测试（人教版九年级下）

(满分：120分　时间：100分钟)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1．已知△MNP如图27-1，则下列四个三角形中与△MNP相似的是(　　)

图27-1

　　　　　          　　　　　

A　　　　　　　　B                   C　　　　　 　D

2．△ABC和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为(　　)

A．3∶1  B．1∶3  C．1∶9  D．1∶27

3．下列命题中正确的有(　　)

①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

4．在△ABC中，BC＝15 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm，另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm，则最长边长是(　　)

A．18 cm  B．21 cm    C．24 cm  D．19.5 cm

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果AD∶BC＝1∶3，那么下列结论中正确的是(　　)

A．S_△OCD＝9S_△AOD  B．S_△ABC＝9S_△ACD

C．S_△BOC＝9S_△AOD  D．S_△DBC＝9S_△AOD

6．如图27-2，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S_△CEF∶S_{四边形BCED}的值为(　　)

A．1∶3  B．2∶3    C．1∶4  D．2∶5

            

图27-2                         图27-3

7．如图27-3，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　)

A．7　   B．7.5  C．8　   D．8.5

8．如图27-4，身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2 m，CA＝0.8 m，则树的高度为(　　)

图27-4

A．4.8 m  B．6.4 m  C．8 m  D．10 m

9．如图27-5，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　)

A.＝                B.＝

C．∠B＝∠D              D．∠C＝∠AED

                

图27-5                         图27-6

10．如图27-6，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，若AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是(　　)

A．b²＝ac　  B．b²＝ce

C．be＝ac    D．bd＝ae

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11．已知线段a＝1，b＝，c＝，d＝，则这四条线段________比例线段(填“成”或“不成”)．

12．在比例尺1∶6 000 000的地图上，量得南京到北京的距离是15 cm，这两地的实际距离是______km.

13．如图27-7，若DE∥BC，DE＝3 cm，BC＝5 cm，则＝________.

图27-7

14．△ABC的三边长分别为2，，，△A₁B₁C₁的两边长分别为1和，当△A₁B₁C₁的第三边长为________时，△ABC∽△A₁B₁C₁.

15．如图27-8，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，则这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离之比是__________．

                   

图27-8                          图27-9

16．如图27-9，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且DE⊥AC于点O，则＝________.

三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)

17．如图27-10，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求线段CG的长．

图27-10

 

 

 

 

 

 

 

 

18．如图27-11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．

图27-11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19．如图27-12，在水平桌面上有两个“E”，当点P₁，P₂，O在同一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．

(1)图中b₁，b₂，l₁，l₂满足怎样的关系式？

(2)若b₁＝3.2 cm，b₂＝2 cm，①号“E”的测试距离l₁＝8 cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？

图27-12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)

20．如图27-13，在△ABC中，已知DE∥BC.

(1)△ADE与△ABC相似吗？为什么？

(2)它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．

图27-13

 

 

 

 

21．如图27-14，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF与直线CD延长线交于点G.求证：BC²＝BG·BF.

图27-14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22．如图27-15，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．

(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?

(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

图27-15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)

23．如图27-16，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.已知OA＝3，AE＝2.

(1)求CD的长；

(2)求BF的长．

图27-16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24．如图27-17，学校的操场上有一旗杆AB，甲在操场上的C处竖立3 m高的竹竿CD；乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C₁处竖立3 m高的竹竿C₁D₁，乙从E处后退6 m到E₁处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D₁与旗杆顶端B也重合，量得C₁E₁＝4 m．求旗杆AB的高．

图27-17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25．如图27-18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB₁∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于点F，G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；

(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

图27-18

 

 

 

 

 

第二十七章自主检测

1．C　2.B　3.A　4.B　5.C　6.A　7.B　8.C　9.B

10．A　解析：∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBA.

又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△CDB∽△DBA.

∴＝＝，即＝＝.

A．b²＝ac，成立，故本选项正确；

B．b2＝ac，不是b²＝ce，故本选项错误；

C．be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；

D．bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．

11．成　12.900　13.　14.

15．1∶

16.　解析：∵DE⊥AC，BC∥AD，∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝∠EDC.

又∵∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ACB∽△EDC.∴＝.

∵AB＝CD，BC＝AD，

∴CD＝＝CE.∴＝＝.

17．解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.

又∵DE∶EA＝2∶3，∴DE∶DA＝2∶5.

∴＝＝＝.

∴AB＝10.

又∵FG∥ED，DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形．

∴DG＝EF＝4.

∴CG＝CD－DG＝AB－DG＝10－4＝6.

 

 

 

 

18．解：∵△ACD∽△BAD，∴＝＝＝＝.

∴AD＝BD，AD＝CD.∴16CD＝9BD.

又∵BD＝7＋CD，

∴16CD＝9×(7＋CD)，解得CD＝9.

19．解：(1)因为P₁D₁∥P₂D₂，所以△P₁D₁O∽△P₂D₂O.

所以＝，即＝.

(2)因为＝，b₁＝3.2 cm，b₂＝2 cm，l₁＝8 m，

所以＝.所以l₂＝5 m.

20．解：(1)△ADE与△ABC相似．

∵平行于三角形一边的直线和其他两边相交，交点与公共点所构成的三角形与原三角形相似．

即由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC.

(2)是位似图形．由(1)知：△ADE∽△ABC.

∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A，

∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A.

21．证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝∠A.

又∵∠A＝∠F(同弧所对的圆周角相等)，

∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.

在△BCG和△BFC中，

 

∴△BCG∽△BFC.∴＝.

即BC²＝BG·BF.

22．解：(1)∵△PCD是等边三角形，

∴∠ACP＝∠PDB＝120°.

当＝，即＝，也就是当CD²＝AC·DB时，△ACP∽△PDB.

(2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB.

∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB

＝∠APC＋∠CPD＋∠A＝∠PCD＋∠CPD＝120°.

23．解：(1)如图D100，连接OC，在Rt△OCE中，

图D100

CE＝＝＝2 .

∵CD⊥AB，

∴CD＝2CE＝4 .

(2)∵BF是⊙O的切线，

∴FB⊥AB.∴CE∥FB.

∴△ACE∽△AFB.

∴＝，＝.

∴BF＝6 .

24．解：如图D101，连接F₁F，并延长使之与AB相交，设其与AB，CD，C₁D₁分别交于点G，M，N，设BG＝x m，GM＝y m.

∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG.

∴＝，则＝.　①

又∵ND₁∥GB，∴△F₁D₁N∽△F₁BG.

∴＝，即＝.　②

联立①②，解方程组，得

故旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(m)．

图D101

25．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5.

∵AD＝5t，CE＝3t，

∴当AD＝AB时，5t＝5，∴t＝1.

∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1.

(2)∵EF＝BC＝4，点G是EF的中点，∴GE＝2.

当AD<AE时，DE＝AE－AD＝3＋3t－5t＝3－2t.

若△DEG∽△ACB，则＝或＝，

∴＝或＝.

∴t＝或t＝.

∴当AD>AE时，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3.

若△DEG∽△ACB，则＝或＝，

∴＝或＝.

∴t＝或t＝.

综上所述，当t＝或或或秒时，△DEG∽△ACB.