第二十七章  相似检测题

（本检测题满分：100分，时间：90分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.(2013· 北京中考)如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点B,C,D，使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于（    ）

                   

第1题图                       第2题图

A.60 m         B.40 m          C.30 m          D.20 m

2.(2013·哈尔滨中考)如图所示，在△ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（    ）

A.                   B.                  C.                      D.

3.(2013·上海中考)如图所示,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于（    ）

A.5∶8                B.3∶8              C.3∶5              D.2∶5

                

第3题图                    第4题图

4.(2013·新疆中考)如图所示，在△ABC中，DE∥BC,DE=1,AD=2，DB＝3，则BC的长是（    ）

A.                    B.                  C.                  D.

5.（2014·南京中考）若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（   ）

A. 1∶2               B. 2∶1       C. 1∶4                   D. 4∶1

6.在比例尺的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离是（    ）

  A.            B.             C.         D.

7.如图所示，在梯形中，∥,对角线相交于点，

若＝1,3,则的值为（   ）                         

A.               B.          

C.                 D.

8.已知四边形与四边形位似，位似中心为点.若=1∶3，则∶等于（    ）

A.1∶9           B.1∶6            C.1∶4           D.1∶3

9.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂高出头顶（   ）

A.0.5 m          B.0.55 m          C.0.6 m          D.2.2 m

10.（2014·河北中考）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.

①                    ②

第10题图

乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）

A．两人都对                                                        B．两人都不对

C．甲对，乙不对                                                D．甲不对，乙对

二、填空题（每小题3分，共24分）  

11.(2013·天津中考)如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为           .

 

 

 

 

第11题图                 第12题图

12.如图所示，在△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为       .

13.已知一个三角形的三边长分别为6、8、10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比=       .

14.在△中，12 cm，=18 cm，24 cm，另一个

与它相似的△的周长为18 cm，则△各边长分别

为       . 

15.如图所示，一束光线从点出发，经过轴上的反射

后经过点，则光线从点到点经过的路线长

是       ．

16.四边形与四边形 位似，点为位似中心，若，那么=       .

17.(1)若两个相似三角形的面积比为1∶2，则它们的相似比为        ；

(2)若两个相似三角形的周长比为3∶2，则这两个相似三角形的相似比为        ；

(3）若两个相似三角形对应高的比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是         ．

18.如图所示，在正方形中，点是边上一点，且

   =21，与交于点，则△与四

边形的面积之比是        .                   

三、解答题（共46分）

19.（6分）已知线段成比例，且， ，，求线段的

长度.

20.（6分）若，求的值.

21.（8分）(2014·安徽中考)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）.

（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；

（2）请画一个格点△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂∽△ABC，且相似比不为1.

第21题图

22.（8分）(2014·陕西中考) 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.

第22题图

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

23.（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m）

 

 

第23题图                              第24题图

24.（10分）如图所示，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.

(1)求证：AD平分∠BAC;

(2)求AC的长.

 

 

第二十七章 相似检测题参考答案

1.B  解析：∵ AB⊥BC,CD⊥BC,∴ AB∥CD,∴ ∠A=∠D，

∴ △BAE∽△CDE,∴ =.

∵ BE20 m，EC10 m，CD20 m，∴ =,∴ AB=40 m.

2.B  解析：∵ 在△ABC中，点M,N分别是边AB,AC的中点，∴ MN∥BC，MN=BC,

∴ △AMN∽△ABC, ∴ ==,∴ =.

点拨:三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

3.A  解析：本题考查了相似三角形的判定和性质,∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B.

又∵∠A=∠A,∴ △ADE∽△ABC,∴ =.∵ =,∴ =,即=,∴ =.

设AE=3,则AC=8,∴ CE=AC-AE=5.∵ EF∥AB,∴ △CEF∽△CAB,

∴ .

4.C  解析：∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC.∴ .∵ DE=1,AD=2，DB=3，

∴ .∴ BC=.

点拨：求两条线段的比值或求线段的长时，常通过证明两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解.

5. C   解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果△ABC与△A′B′C′的面积的比为1∶4.故选C.

6.D    解析：

7.B  解析：由∥得△∽△，∴ .

8. A  解析：依据相似多边形的面积比等于相似比的平方解题.由四边形与四边形位似，得四边形与四边形相似.又由四边形与四边形相似得所以选A.

9.A  解析：设小刚举起的手臂高出头顶，则∴

10.A   解析：图①中两个三角形的３组角分别对应相等，两个三角形一定相似；图②中的两个矩形，虽然４组角分别对应相等，但较短边之比与较长边之比不相等，两个矩形一定不相似.只有同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”这两个条件的矩形才是相似矩形.

11.7  解析：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质，∵ ∠B=60°，

∠ADE＝60°，∴ ∠BAD+∠BDA=180°-∠B=120°，∠CDE+∠BDA＝180°∠ADE＝120°，∴ ∠BAD＝∠CDE.又∵ ∠B=∠C，∴ △BDA∽△CED，∴ =.

∵ AB=9,BD=3，CD＝BC-BD＝6，∴ EC=2，AE＝AC-EC＝7.

12.18   解析：∵ DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴.

∵ △ADE的面积为8，∴解得=18.

13.  解析：已知一个三角形的三边长是6、8、10，与其相似的三角形的最短边长为18.根据相似比的意义可知.

点拨：本题关键是找准对应边，本题中两个相似三角形的最短边是对应边.

14. 4 cm，6 cm，8 cm  解析：.由题意，得，解得= ；，解得=；，解得=.

∴ △的各边长分别为，.

15.5  解析：过作轴于.设，则.

由△∽△,得,∴ .

∴，.∴ .

16. 1∶3    解析：位似的图形一定相似，所以四边形与四边形的相似，所以1∶3.

17.(1）  （2）3∶2  （3）75

解析：(1)相似三角形面积的比等于相似比的平方,∴∵ ，∴

（2）相似三角形周长的比等于相似比,∵ 周长比为3∶2，∴ 相似比为3∶2.

（3）相似三角形周长的比等于对应高的比，等于相似比,设较大三角形的周长为,则，解得.

18.9∶11  解析：由，可设，，则.

∵ 四边形是正方形，∴ ，∥.∴ △∽△，

∴ .∴ .

设，则.∵ ,∴.

∴ .

∴ 四边形的面积为，

∴ △与四边形的面积之比是 

19.分析: 列比例式时，单位一定要统一，做题时要看仔细.

解：∵ 是成比例线段，∴ .

又∵ 6 cm， ，，∴ ，解得.

点拨：线段成比例，即或，其中字母的位置不能颠倒.

20.解：由，得,即.所以.

点拨：本题两次运用了比例的基本性质，初学时易出错，所以我们要重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”.

21.解：（1）作出△A₁B₁C₁如下图所示.

（2）本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A₂B₂C₂满足条件即可.

第21题答图

22.解：由题意，知∠BAD=∠BCE.∵ ∠ABD=∠ABE=90°，

∴ △BAD∽△BCE.∴ ，

∴ .∴ BD=13.6.

∴ 河宽BD是13.6米.

23.分析：由AM⊥EC,CD⊥EC,EA=MA,可得EC=CD，再由BN⊥EC,可得BN∥CD,进而可得△ABN∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解.

解：设CD的长为 m.

∵ AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴ MA∥CD,BN∥CD.

又EA＝MA，∴ EC=CD=.

由BN∥CD可得△ABN∽△ACD，∴ ，即，解得=6.125≈6.1.

∴ 路灯高CD约为6.1 m.

24. （1）证明：如下图，连接OD，

∵ BD是⊙O的切线，D为切点，∴ .

∵ ，∴ OD∥AC，∴ ∠3=∠2.

又∵ OD=OA，∴ ∠1=∠3，∴ ∠1=∠2，

∴ AD平分∠BAC.

第24题答图

(2)解：∵ OD∥AC，∴ △BOD∽△BAC.

∴ .∴ ，∴ .