湖南理科数学最后三个解答题研究

湖南省东安县第一中学   张湘

 

一．解题思维的理论依据

解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山。针对备考学习过程中，同学们普遍存在的共性问题：一听就懂、一看就会、一做就错、一放就忘，做了大量的数学习题，成绩仍然难以提高的现象，我们很有必要对自己的学习方式、方法进行反思，解决好“学什么，如何学，学的怎么样”的问题．要解决这里的“如何学”就需要改进学习方式，学会运用数学思想方法去自觉地分析问题，弄清题意，善于转化，能够将面对的新问题拉入自己的知识网络里，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现学习效率的最优化．

二．求解解答题的一般步骤

第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？)

在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时，步骤(1)将题目条件推导出“新条件”，步骤(2)将题目结论推导到“新结论”，步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到“新条件”。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的“新结论”。然后在“新条件”与“新结论”之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的“新条件”与“新结论”之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大！

第二步：(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程．)

根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法．

第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)

解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能力．评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪步，所以卷面上讲究规范书写．

第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经验等．)

(1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程，一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺利则好，若觉得解答别扭则十有八九错了，这就要认真查看演算过程．

(2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合．

三.考题研究

1.湖南理科数学第二十题（倒数第三题）：看似复杂，实则简单，融会贯通应用题

综观八年来湖南省理科数学试卷第二十（倒数第三题）题除2014年是数列问题之外，其余七年都是应用题，它们主要呈现出以下特点：

（1）情境新颖，但背景朴素公平，触角遍及社会活动和经济生活的各个角落，如航海安全、桥梁建设、任务分配等，情景贴近生活，概念通俗易懂。

（2）试题涉及三角（2008年），数列，立体几何（2007年），解析几何（2010年），函数、导数及不等式（2007、2009、2011、2012、2013年）。其中五年是对函数实际应用问题的考查，设问新颖、灵活；难度中等，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力。

【典例】(2011湖南)20. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。

（Ⅰ）写出的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。

【抢分秘诀】 解决函数实际应用问题的万能模板：

第一步：审清题意  认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问 题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量 关系(等量或不等关系)

第二步：转化为数学模型  将问题中所涉及的关键量之间的数量关系，转化为数学 语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不 等式、数列、以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。

第三步：解决数学问题  利用所学数学知识解决转化后的数学问题（常利用导数、 基本不等式解决），得到相应的数学结论。

第四步：返本还原  把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题 本身所具有的意义.

第五步：反思回顾  查看关键点，易错点，如本题函数关系式的求解是否正确；定义域是否正确；导数的求解及分类是否准确等.

 

2. 湖南理科数学第二十一题（倒数第二题）：强化系统，精确计算，解析几何我们不再害怕

    从近八年的高考真题来看顾，湖南省理科数学的第二十一（倒数第二题）题有七年是解析几何题型,只有 2010年作为应用题放在19题。解析几何试题的热点：

（1）以向量为载体，将向量、解析几何、方程、不等式融为一体——利用向量的坐标表示法，将问题中的向量关系转化为代数关系，再利用解析几何的方法求解；（如2007年、2013年第（1）问）

（2）涉及最值，参变量取值范围问题——引入参数，建立目标函数，目标函数往往是分数函数、对数函数、三次函数、三角函数，利用导数和不等式的性质求解； （如2008、2009、2014三年的第（2）问，）

（3）曲线轨迹（方程）的探求； （如2007、2009、2011、2012共四年的第（1）问）

（4）直线与圆锥曲线的位置关系——数形结合，引入参数，设而不求； （大多数的题目都涉及直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理设而不求）

（5）定点、定值问题——特殊引路，探求一般证题规律；（如2007、2012两年的第（2）问）

（6）探索性问题——利用特殊关系，探索出一般关系，并证明其正确性；“存在性”的证明问题。（如2007、2008、2011共三年的第（2）问）

【典例】（湖南2013年）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。

（1）若，证明；；

（2）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。

【抢分秘诀】

    (1)解析几何，首先必须要保证计算正确．因为解析几何都是环环相扣的，如果数值出现错误，后面的问题就白做了，还浪费时间．

    (2)看到题目不要着急，仔细挑拣出已知条件，按题目深浅大致区分第一问和以后几问要用到的条件．一些问题要通过画图才能看见隐含条件(例如交点、域和一些特别的几何图形等)，继而找到思路，同时数形结合至关重要，要把平面几何知识与解析几何知识结合起来，使解题更加直观、简捷．

(3)解题步骤不能太过臃肿，非得分点多写了也不加分，多出的步骤有漏洞还会扣分．但如果简略的步骤过多，一些得分步骤被你省略了，也会扣分的．

(4)思路清晰，书写有条理也是得分关键．

3. 湖南理科数学第二十二题（压轴题）：认真审题，精妙转化，解决压轴的函数、数列综合问题

近几年来最后一道压轴题主要涉及函数导数、不等式、数列等等.
如2007、2010、2011三年是数列与函数导数的综合问题；
2008、2012、2013、2014四年主要是函数与导数、不等式的结合；
2009年考查的是数列与不等式的综合问题。

    1）数列是历年高考考查的重点、热点和难点．数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

主要题型：(1)数列的递推关系的理解与应用；(2)数列的通项a_n与前n项和S_n之间的关系与应用；(3)求可转化为等差(等比)数列通项；(4)求数列的前n项和S_n；(5)能力研究性试题争相亮相，与数表序列、平均数、导数、不等式、对数函数、解析几何等知识交汇，是高考的热点．

【典例】（2010湖南）数列中，是函数的极小值点.

   （I）当a=0时，求通项（II）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

【抢分秘诀】

（1）求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程．

（2）数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解．

（3）有关数列与函数的解答题．因为数列是一种特殊的函数，在注意函数方法的普遍适用性的同时，还要注意数列方法的特殊性，运用数形结合，进行合理的等价转化．

（4）有关数列与不等式的解答题的求解策略是：将数列的有关性质和不等式知识、不等式的解法相结合，转化为不等式问题而获解．

(5)有关数列与向量的解答题的求解策略是：将已知向量坐标化，利用数列知识获解．

2）导数是解决函数与其他模块问题的有效工具，是中学数学的交汇点，成为联系多元知识的媒介，高考命题的必然趋势，新“靓点”。导数的引入，给函数问题、不等式问题注入了生机和活力，拓宽了高考对函数与不等式的命题空间。

函数搭台，导数唱戏，不等式获证：

（1）利用导数的几何意义解决切线问题；

（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值

（3）利用导数求参数的取值范围和恒成立问题

（4）利用导数解不等式问题（超越不等式的证明）解题策略：构造恰当的函数是解题的关键，

（5）交点和零点的个数问题

【典例】已知常数

（1）讨论在区间上的单调性；

（2）若存在学科网两个极值点且求的取值范围．

【抢分秘诀】

1．过程书写要干净利落，条理分明，突出解法的逻辑关系．

2．要用数学语言，尤其借助于符号语言来进行说明可省去大篇的文字．

3．在说明函数的单调性与极值时，要习惯于用表格来说明，表格中容纳了大量的无需再表述的信息，使问题的解决清晰明了，并且与占有一定的分数，倘若用其他方式说明就不到位．

4．本题为试卷的压轴题，对不少考生来说，难度也较大，可能会放弃，但是还要把能得到的分拿下来，比如求f′(x)以及函数定义域等思维含量较低的知识，在阅卷中这都可得到2～3分．

四、解答压轴题的基本策略：

    1.学会分析转化：所谓转化，简言之，就是缩小已知和求证（解）之间的差距，其方法就是不断等价转化，或转化条件，或转化结论，使解题得以实施。

    2.熟悉基本模型

    在平时学习中应该多注意积累，把一些典型的例题、习题的结论推广到一般情况，总结成模型，就能解答一类问题，这对压轴题是十分有利的，不仅解题思路开阔，还能选择简捷的方法，又快又好的解题。

    3.有了想法就写

    解答综合题往往有“看不到底”的经历，即不能从开始到结束都有明确的思路，但若能根据条件，写出由此能得到地相应结论，一步一步摸索向前，并运用分析转化等方法，最终得到正确结论。