1.2　应用举例(一)

自主学习

 知识梳理

1．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫仰角，在水平线________的角叫俯角(如图①)．

(2)方位角

指从正北方向________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(3)坡度

坡面与水平面所成的二面角的度数．

2．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线______，测量的精确度越高．

 自主探究

为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一铅垂平面内．飞机已经测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．

甲乙两位同学各自给出了计算MN的两种方案，请你补充完整．

甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝__________________；

第二步：计算AN.由正弦定理AN＝________________；

第三步：计算MN.由余弦定理MN＝________________.

乙方案：第一步：计算BM.由正弦定理BM＝__________；

第二步：计算BN.由正弦定理BN＝______________；

第三步：计算MN.由余弦定理MN＝________________.

对点讲练

知识点一　测量距离问题

 

例1　要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中计算AC和BC.

变式训练1　如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为(　　)

A．50 m   B．50 m

C．25 m   D.2(2) m

 

知识点二　测量高度问题

 

例2　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．

变式训练2　江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°，求两条船之间的距离．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点三　测量角度问题

 

例3　在海岸A处，发现北偏东45°的方向，距离A (－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A  2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

 

 

 

 

 

总结　本例考查正弦、余弦定理的建模应用．注意到最快追上走私船时两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.

变式训练3　甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少n mile?

 

 

 

 

 

 

1．距离问题

测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解．

2．高度问题

测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．

3．角度问题

测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角. 

 

课时作业

一、选择题

1．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A．a km   B.a km   C.a km   D．2a km

2.

如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)，则A点离地面的高AB等于(　　)

A.sin(α－β)(asin αsin β)   B.cos(α－β)(asin αsin β)

C.sin(α－β)(asin αcos β)   D.cos(α－β)(acos αcos β)

3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为(　　)

A．0.5小时   B．1小时   C．1.5小时   D．2小时

4．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是(　　)

A.7(150)分钟   B.7(15)小时

C．21.5分钟   D．2.15分钟

题　号	1	2	3	4
答　案

二、填空题

 

5．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．

 

6.

如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为__________海里/小时．

7．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是________ km.

三、解答题

8.

如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.2　应用举例(一)

知识梳理

1．(1)上方　下方　(2)顺时针

2．越长

自主探究

sin(α1＋α2)(dsin α2)　sin(β2－β1)(dsin β2)

 

sin(α1＋α2)(dsin α1)　sin(β2－β1)(dsin β1)

 

对点讲练

例1　解　如图所示，在△ACD中，

∠ACD＝120°，

∠CAD＝∠ADC＝30°，

∴AC＝CD＝ km.

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.

∴BC＝sin 60°(3sin 75°)＝2(2).

△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝()2＋2(2)2－2×2(2)×cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝ km.

∴A、B之间的距离为 km.

变式训练1　A　[由题意知∠ABC＝30°，

由正弦定理sin∠ABC(AC)＝sin∠ACB(AB)，

∴AB＝sin∠ABC(AC·sin∠ACB)＝2(1)＝50 (m)．]

例2　解　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，

∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.

根据正弦定理得：sin∠ABC(AC)＝sin∠BAC(BC)

即sin(90°－α)(AC)＝sin(α－β)(BC)

∴AC＝sin(α－β)(BCcos α)＝sin(α－β)(hcos α).

在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝sin(α－β)(hcos αsin β).

答　山的高度为sin(α－β)(hcos αsin β).

变式训练2　解　如图所示：

∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°

∵AB＝30，

∴BC＝30，BD＝tan 30°(30)＝30.

在△BCD中，

CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，

∴CD＝30，即两船相距30 m.

例3　解　

如图所示，设缉私船用t h在D处追上走私船，

则有CD＝10t，BD＝10t，

在△ABC中，

∵AB＝－1，AC＝2，

∠BAC＝120°，

∴由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6，

∴BC＝，

且sin∠ABC＝BC(AC)·sin∠BAC＝6(2)×2(3)＝2(2).

∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．

∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理得

sin∠BCD＝CD(BD·sin∠CBD)＝t(10tsin 120°)＝2(1)，

∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．

变式训练3　解　如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝x，由正弦定理得

sin θ＝AC(BC·sin 120°)＝2(1)，

而θ<60°，∴θ＝30°，即∠ACB＝30°，AB＝BC＝a，

从而BC＝sin∠ACB(AB·sin θ)＝a (n mile)．

答　甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a  n mile.

课时作业

1．B　[∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴AB＝a.]

2．A　[设AB＝h，则AD＝sin α(h)，

∵∠CAD＝α－β，∴sin(α－β)(CD)＝sin β(AD).

∴sin(α－β)(a)＝sin αsin β(h)，

∴h＝sin(α－β)(asin αsin β).]

3．B　[设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°＝302.

化简得：4t2－8t＋7＝0，

∴t1＋t2＝2，t1t2＝4(7).

从而|t1－t2|＝＝1.]

4．A　[设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.

∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos 120°＝28x2－20x＋100＝2814(5)2－7(25)＋100

∴当x＝14(5)(小时)＝7(150)(分钟)，y2有最小值．]

5.sin(α＋β)(s·tan θsin β)

解析　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.

由正弦定理，得sin∠BDC(BC)＝sin∠CBD(CD).

∴BC＝sin∠CBD(CD·sin∠BDC)＝sin(α＋β)(s·sin β)

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝sin(α＋β)(s·tan θsin β).

6．20(－)

解析　由题意，∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，

∠NSM＝30°.

由正弦定理得sin 30°(MN)＝sin 105°(MS)，

∴MN＝sin 105°(MS)＝2()

＝10(－)．

∴v货＝20(－)海里/小时．

7.6(3)

解析　如图，∠CAB＝15°，

 

∠CBA＝180°－75°＝105°，

∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，

AB＝1 km.

∵sin∠CAB(BC)＝sin∠ACB(AB)

∴BC＝sin 60°(1)·sin 15°

＝3(2) (km)．

设C到直线AB的距离为d，

则d＝BC·sin 75°＝3(2)·4(2)＝6(3) (km)．

8．解　

如图所示，连结A1B2，

由已知A2B2＝10，

A1A2＝30×60(20)＝10，

∴A1A2＝A2B2，

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，

∴A1B2＝A1A2＝10.

由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由余弦定理，

B1B2(2)＝A1B1(2)＋A1B2(2)－2A1B1·A1B2·cos 45°

＝202＋(10)2－2×20×10×2(2)＝200.

∴B1B2＝10.

因此，乙船速度的大小为

20(2)×60＝30(海里/小时)．

答　乙船每小时航行30海里．