课题：  高考题中的三个超越函数及应用

湖南东安一中   唐志达

一、教学内容分析

导数进入高中数学后，为解决函数的单调性和最值问题提供了简便易行的方法，因而成了每年高考的必考内容，教者在研究历年高考试题中发现，高考题中一些与不等式有关的问题的解决，最终用到下面三个超越函数的单调性和最值，本节课将作介绍，供同学们学习参考。

二、教学目的

1、进一步熟悉利用导数研究函数单调性和极值（最值）的方法；

2、掌握所研究的三个超越函数的单调性和最值；

3、培养学生综合运用数学知识解决问题的能力。

三、教学重点 三个超越函数的单调性及运用。

四、教学难点 三个超越函数单调性的运用。

五、教学过程

1、复习提问

前面我们学习了利用导数研究函数的单调性和极值，解题步骤是怎样的？  

【指定学生回答，然后教师总结并板书】

求函数单调区间的步骤是：

①求函数的定义域;  ②求;

③解不等式得f(x）的单调递增区间；

   解不等式得f(x）的单调递减区间。

求函数极值的步骤是：

①求函数的定义域；  ②求=0的根；

③检验在的根的左右的符号。

  如果在根的附近左正右负，这个根是极大值点；

  如果在根的附近左负右正，这个根是极小值点。

2、下面请同学们研究下面三个函数的单调性和极值：

。

【请三名同学上黑板先做，然后教师讲评】

解：（1）f(x)的定义域为，。

，所以f(x)在是增函数。

 所以f(x)在是减函数。

故当x=0时，f(x)有极小值，极小值为f(0)=0。

（2）f(x)的定义域为，

，所以f(x)在是增函数，

 ，所以f(x)在是减函数。

故当x=e时，f(x)有极大值，极大值为f(e)= 。

（3）f(x)的定义域为，。

设则.

 所以f(x)在上是增函数，故。

此时，所以在是减函数。

,所以g(x)在是减函数，故.

此时，,所以在是减函数。

故f(x)没有极值。      

【然后师生共同总结出下面三个结论】

3、三个有用结论

结论1：函数在是减函数，在是增函数。

推论： 。

结论2：函数在是增函数，在是减函数。

结论3：函数在是减函数。

【教师小结：这三个函数是最简单和最常用的三个超越函数，在历年高考试题中直接或者间接地考查这三个超越函数及性质，因而我们一定要掌握它，下面我们来看它们的一些简单应用】

4、例题分析

例1（2005年全国高考）若，则（    ）。

    A．a          B．ca          C．c<a          D．b<a

分析：因为在是增函数，在是减函数，

所以，即 。由于，

所以b>a>c ，  选C。

例2（2001年全国高考）已知m,n为正整数，且1求证：

分析：时，

    由于函数在是减函数，又

所以，即成立。   故原不等式成立。

【教师小结：将数学问题进行等价变形使问题明化，是解决数学难题的常用技巧，同学们要细心体会；数列是定义域为或它的子集{1,2,3，.. .，n}的特殊函数，因而每一个数列都对应于定义域为或者它的子集的一个函数，因而很多数列问题通过研究数列对应的函数的性质，使数列问题获解是函数应用的一大亮点。】

例3（2000年四川高考题）设函数。

（1）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项;

（2）对任意的实数x，证明：.

分析：（1）x=6时，展开式中二项式系数最大的项是中间项。

（2） 。

，时，，。

从而,即.

例4已知数列满足,求证：.

分析：对一切都成立,

 =。

   由于x>0时，。

,

5、课堂小结

本节课我们从复习利用导数求函数单调性和极值（最值）的方法入手，然后研究了三个超越函数，，的单调性和极值（最值），重点是通过例题来研究这三个超越函数的性质的简单应用，对于数学难题，我们要善于观察题目的条件和结论之间的联系与区别，联想有关的数学知识进行等价转化，进行知识迁移，才能使问题获得解决。

六、作业

1.（2008年福建省高考题）已知函数

(I)  求函数的单调区间;

（Ⅱ）设在区间上的最小值为，设，

求证：。

2.（2008年全国高考题改编）已知函数

若对所有的都有成立，求实数的取值范围。

3.（2008年湖南高考题）已知函数 

(I)  求函数的单调区间;

（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值。